ПУАНКАРЕ - БЕРТРАНА ФОРМУЛА

формула перестановки порядка интегрирования в повторных несобственных интегралах в смысле главного значения по Коши.

Пусть Г - простая замкнутая или разомкнутая гладкая линия на комплексной плоскости; j(t, t₁).определенная на Г (вообще говоря, комплекснозначная) функция, удовлетворяющая равномерно условию Гёльдера по t, t₁; t₀ - фиксированная точка на Г, отличная от концов, если Г разомкнута. Тогда имеет место П.- Б. ф.

(1)

Формула справедлива и при более общих предположениях относительно линии Г и функции ф (см. [4]). Если j (t, t₁).a(t).b(t₁), где р'=р/( р-1), то равенство (1) справедливо для почти всех (см. [5], [6]). Если линия Г замкнута и функция j зависит от одного аргумента, то равенство (1) принимает вид

(2)

и имеет место для всех или почти всех в зависимости от того, удовлетворяет j условию Гёльдера или . Равенство (2) также наз. П.- Б. ф.

Построены аналоги формулы (1) в случае кратных интегралов (см. [8] - [11]).

Формула (1) при определенных условиях была получена Г. Харди (см. [7]) ранее А. Пуанкаре (см. [1]) и Ж. Бертрана (см. [2], [3]).

Лит.:[1] Poincare H., Lecons de mecanique celeste, t. 3, P., 1910; [2] Bertrand G., "C. r. Acad. sci.", 1921, t. 172, p. 1458-61; [3] его же, "Ann. sci. Ecole norm, super.", 1923, t. 40, p. 151-258; [4] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [5] Xведелидзе Б. В., "Сообщ. АН Груз. ССР", 1947, т. 8, № 5, с. 283- 90; [6] его же, в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 7, М., 1975, с. 5-162; [7] Наrdу G. Н.,"Ргос. London Math. Soc.", 1909, v. 7, № 2, p. 181-208; [8] Triсоmi P., "Math. Z.", 1928, Bd 27, S. 87-133; [9] Giraud G., "C. r. Acad. sci.", 1936, t. 202, №26, p. 2124-26; [10] его же, "Ann. sci. Ecole norm, super.", 1934, t. 51, f. 3- 4, p. 251-372; [11] Михлин С. Г., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 3, с. 29-112; [12] его же, Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М., 1962.

Б. В. Хведелидзе.