Погрешность (математич.)

Погрешность данного числа а, которое рассматривается как приближённое значение некоторой величины, точное значение которой равно х, есть разность х ‒ а. Её называют абсолютной погрешностью. Отношение х ‒ а к а называют относительной погрешностью числа а. Для характеристики П. обычно пользуются указанием её границ. Число D(а) такое, что ½х ‒ a½ £ D(a), называют границей абсолютной П. Число d(a) такое, что , называют границей относительной П. Границы относит. П. часто выражают в процентах. В качестве D(а) и d(а) берутся по возможности меньшие числа.

Информацию о том, что число а является приближённым значением числа х с границей абсолютной П. D(а), принято записывать в виде: х = а ╠ D(а). Аналогичное соотношение для относительной П. записывается в виде: х = а (1 ╠ d(а)).

Границы абсолютной и относительной П. указывают на максимально возможное расхождение х и а. Наряду с ними часто употребляются характеристики П., учитывающие характер возникновения П. (см. Погрешности измерений) и частоту различных значений разности х и а. При таком подходе к П. используются методы теории вероятностей (см. Ошибок теория).

При численном решении задачи П. результата обусловливается неточностями, которые присущи формулировке задачи и способам её решения. П., возникающую вследствие неточности математического описания реального процесса (в частности, неточности задания исходных данных), называют неустранимой П.; возникающую вследствие неточности метода решения ‒ П. метода; возникающую вследствие неточности вычислений ‒ вычислительной П. (см. Округление).

В процессе вычислений исходные П. последовательно переходят от операции к операции, накапливаясь и порождая новые П. Возникновение и распространение П. в вычислениях являются предметом специальных исследований (см. Численные методы).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.

Г. Д. Ким.