ОШИБОК ТЕОРИЯ

- раздел математич. статистики, посвященный построению уточненных выводов о численных значениях приближенно измеренных, величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, т. <к. каждое измерение содержит нек-рую ошибку. Различают три основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки все время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определенных причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематич. ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математич. статистики (см. Наблюдений обработка). Грубые ошибки возникают в результате просчета, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов.

О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Оценка статистическая).неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и установление грубых ошибок. Пусть в результате пнезависимых равноточных измерений нек-рой неизвестной величины m, получены значения Y₁, Y₂,. . ., Y_n. Разности

наз. истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все d_i трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d₁,. . ., d_n. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределенность: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределенные случайные величины. При этом математич. ожидание истинных ошибок наз. систематической ошибкой, а разности d₁-b, . . .,d_n-b - случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематич. ошибки означает, что b=0 и в этой ситуации d₁, . . ., d_n суть случайные ошибки. Величину , где s - квадратичное отклонение, наз. мерой точности (при наличии систематич. ошибки мера точности выражается отношением . Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерении. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для нек-рых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины и обычно берут арифметич. среднее из результатов измерений

а разности

наз. кажущимися ошибками. Выбор в качестве оценки для m основан на том, что при достаточно большом числе га равноточных измерений, лишенных систематич. ошибки, оценки с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины m (см. Больших чисел закон). оценка лишена систематич. ошибки (оценки с таким свойством наз. несмещенными), дисперсия оценки есть

Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки d_i подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты т. н. предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина имеет мало отличающееся от нормального распределение с математич. ожиданием m и дисперсией s²/п. Если распределения d_i в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для m, напр. медианы, не меньше . Если же распределение d_i отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места (см. пример в ст. Рао - Крамера неравенство).

Если дисперсия s² отдельных измерений заранее неизвестна, то для ее оценки пользуются величиной

( , то есть s²- несмещенная оценка для s²). Если случайные ошибки d_i имеют нормальное распределение, то отношение

подчиняется Стъюдента распределению с п-1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближенного равенства (см. Наименьших квадратов метод).

Величина ( п-1)s²/s² при тех же предположениях имеет "хи-квадрагп" распределение с n-1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближенного равенства . Можно показать, что относительная погрешность не будет превышать числа qс вероятностью

где F(z, п-1) - функция c² -распределения

Если нек-рые измерения содержат грубые ошибки, то предыдущие правила оценки m и s дадут искаженные результаты. Поэтому очень важно уметь отличать измерения, содержащие грубые ошибки, от измерений, подверженных лишь случайным ошибкам d_i. Для случая, когда d_i независимы и имеют одинаковое нормальное распределение, наиболее совершенный способ выявления измерений, содержащих грубые ошибки, предложен Н. В. Смирновым [3].

Лит.:[1] Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы матсматико-статиетической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; [2] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М. 1968; [3] С м и р н о в Н. В., "Докл. АН СССР", 1941, т. 33, № 5, с. 346-49. Л. Н. Большев.