Эллиптические интегралы и функции

Эллиптические интегралы и функции
Э. интегралами называются все квадратуры вида:
∫ f(x,√ X)dx,
где Х есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от х; f есть
какая-либо рациональная функция от х и √X. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.
Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:
--------------------------------------------------
Φ                |                          |
|------------------------------------------------|
F= ∫       dφ/Δφ, (1)           |
|------------------------------------------------|
0                 |                          |
--------------------------------------------------
где Δφ означает корень:
Δφ = √(1—k 2Sin2φ).
Значит F есть функция от φ, верхнего предела φ, заключающая в себе еще постоянную величину k, называемую модулем.
Если положим х = Sinφ, то интеграл F(φ), который теперь обозначим через u, будет иметь вид:
------------------------------------------------------------------------------
x                  |                                                      |
|----------------------------------------------------------------------------|
= ∫            dx/ [√(1—x2)(1— k2x)] = F(φ)         |
|----------------------------------------------------------------------------|
0                  |                                                      |
------------------------------------------------------------------------------
Так как u есть функция от φ, то, обратно, φ есть функция от и. Эту обратную функцию называют амплитудой от и по модулю k. Ее обозначают так: φ = am( u, k) или просто φ = am u. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием u функция amu возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда φ достигает величин ½, π, 3/2 π, 2π,...., то и достигает величин K, 2K, 3K, 4K..., где
--------------------------------------------------
π/2            |                             |
|------------------------------------------------|
= ∫         dφ/Δφ, (2)             |
|------------------------------------------------|
0               |                             |
--------------------------------------------------
Величины х = Sinφ, √(1—х2) = Cosφ и Δφ суть Э. функции от и; так как φ = amu, то:
х = Π (и,а) = A; √(1—x2) = Cos am u,
√(1—k2x2 ) = Δ amu;
эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:
= d.amu = du.Δφ = Δamu.du. (3)
Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:
--------------------------------------------------
φ               |                             |
|------------------------------------------------|
E(φ) = ∫     Δφ dφ, (4)             |
|------------------------------------------------|
0               |                             |
--------------------------------------------------
а если, согласно предыдущему, ввести вместо выражение (3) его в du, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:
--------------------------------------------------
u               |                             |
|------------------------------------------------|
E(u) = ∫     Δ2amu du, (5)        |
|------------------------------------------------|
0               |                             |
--------------------------------------------------
При φ равном ½π, когда u (по формуле (2)) обращается в K, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой Е:
--------------------------------------------------
π/2             |                             |
|------------------------------------------------|
= ∫         Δφ dφ, (6)             |
|------------------------------------------------|
0               |                             |
--------------------------------------------------
а по формуле (5):
Е = Е(К).
Дополнительным модулем назыв. величина k', квадрат которой равен (1k2), так что
k2 + (k')2 = 1. Означим через Δ1φ следующий корень:
Δ1φ = √ [1 — (k)2 Sin2 φ]
и составим следующие интегралы:
--------------------------------------------------
π/2              |                          |
|------------------------------------------------|
K' = ∫           | dφ/Δ1φ,              |
|------------------------------------------------|
0                 |                          |
|------------------------------------------------|
π/2              |                          |
|------------------------------------------------|
= ∫           Δφ dφ,               |
|------------------------------------------------|
0                 |                          |
--------------------------------------------------
Лежандр показал, что между четырьмя величинами K, Е, К' и E существует следующая зависимость:
KE' + K'E—KK' = ½π (7).
Интегралы третьего рода имеют такой вид:
----------------------------------------------------------
φ            |                                        |
|---------------------------------------------------------|
             | dφ/[(1— nSin2φ)Δφ]          |
|---------------------------------------------------------|
0             |                                        |
----------------------------------------------------------
Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
u                           |                                                                                     |
|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Π (и,а) = A ∫          Sin2amdu /[(1— k2 Sin2amaSin2am u] (8)                   |
|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
0                           |                                                                                     |
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
где А = k2 Sin am a Cos am а Δ am а.
Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции Θ(u) или θ(x), называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:
Θ (и) = 1 — 2qCos2x + 2q4Cos4x — 2q9Cos3x + 2q16Cos8x —... (9)
или в виде суммы бесконечного числа членов
Θ(u) = θ(x) = ∑(—1)nqn2e2nxi... (10).
Здесь х имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:
x = πu/2K, q = exp(—πK'/K), i = (1),
n в сумме ∑ означает всякие целые полож. и отриц. числа от —∞ до + ∞.
При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:
E(u) = (E/K) u + Θ'(u)/Θ(u)... (11)
Π( (u,a) = u Θ(a)/Θ'(a[ ) + ½ logΘ(u—a)/Θ(u + a)], (12),
где Θ'(u) означает производную от Θ(u) по u.
Из функции θ(х) Якоби составляет еще три функции следующим образом.
Если прибавить к и величину K, то к х прибавится величина π/2, а если прибавить к u величину (— iK'), то к х прибавится 1/2 ilogq. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:
θ1(х) = isθ(x + 1/2 ilogq)
θ2(х) = sθ(x + π/2 + ½ ilogq)
θ3(x) = θ (x + π/3),
где s = (q)1/4 ex.
В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:
Sin am u = (√k) -11(x)/θ (x)],
Cos am u = √(k'/k) θ2(x)/θ(x),
Δam u = √k' [θ3(x)/θ(x)],
где x = πu/2K.
Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.
Если и есть комплексная переменная (см. Мнимые величины): и = х + yi, то каждая из этих функций обратится в Х + Yi, где Х и Y будут функциями от x и у, т. е.:
Х = f1(x, y,), Y = f2(x, y).
Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы х и ординаты у. Обе эти поверхности периодичны и имеют период параллельно оси абсцисс и другой период 2К' параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: (х, y), (х + 2К,у), (х, y + 2K'), (x + 2K, у + 2К') одинаковы.
Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:
----------------------------------------------------------------------------
               |                                                       |
|--------------------------------------------------------------------------|
и =          dy /[√(4y— g2y — g3 )] ... (13)        |
|--------------------------------------------------------------------------|
| 0               |                                                       |
----------------------------------------------------------------------------
Нижний предел s этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от u; эту функцию обозначим так: s = pu;
квадрат её производной по u выразится так:
(p'u)2 = (dpu/du)2 = 4(pu)3 — g2pug3. (14).
Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:
4[(pu — e1)(pu — e2)(pu — e3)],
где е1, е2, е3 суть три корня уравнения третьей степени 4y3g2yg3 = 0. Величины g2 и g3 называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение
Δ = g32—27g32
называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. Δ)0, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через е1 больший, через е2 средний и через е3 меньший корень, причем е1 положительная величина, е3 — величина отрицательная. Сумма е1 + е2 + е3 равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через е2, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через е1. В этом случае, конечно, также е1 + е2 + е3 = 0.
Функция pu имеет два примитивные периода
--------------------------------------------------------------------------------------------
                 |                                                                    |
|------------------------------------------------------------------------------------------|
1 =         dy /[√(4y—g2y —g3 )] = 2K/[√(e1 — e3 )]       |
|------------------------------------------------------------------------------------------|
0                 |                                                                    |
--------------------------------------------------------------------------------------------
и 2ω3 = 2K/[√(e1 — e3 )],
причем рω1 = е1, рω3 = е3, а если положить ω2 = ω1 + ω3, то рω2 = е2.
Величины k2 и k'2 выражаются так:
k2 = (е2е3 )/ (е1е3), (k')2 = (е1е2 )/(е1е3).
Когда k2 есть действительная величина, то точки 0, 2ω1, 2ω3 находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.
Когда k2 есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, 2ω1, 2ω3, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины k2 отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.
Функция pu может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:
pu = e3(e1e3)/ [Sin2am(u√(e1e2)];
отсюда не трудно выразить в pu все три Э. функции.
Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию σu, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:
pu = (d2/du2 ) log(σu).
Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: "Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum" (в 1-м томе "Jacobi's gesammelte Werke", Б., 1881); Durège, "Theorie der elliptischen Functionen" (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, "Traité des fonctions elliptiques" (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, "Principes de la théorie des fonctions elliptiques" (П., 1897); Schwarz, "Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass"; Enneper, "Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte" (2-е изд., Галле, 1890).
Д. Б.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

Смотреть что такое "Эллиптические интегралы и функции" в других словарях:

  • Эллиптические интегралы —         интегралы вида          ,         где R (x, у) рациональная функция х и Р (х) многочлен 3 й или 4 й степени без кратных корней.          Под Э. и. первого рода понимают интеграл                  под Э. и. второго рода интеграл         … …   Большая советская энциклопедия

  • Эллиптические функции —         функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы). Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.          Подобно тому… …   Большая советская энциклопедия

  • Абелевы интегралы —         интегралы от алгебраических функций (См. Алгебраическая функция). Как правило, А. и. не выражаются через элементарные функции. Названы по имени Н. Абеля (См. Абель), открывшего их основные свойства. Теория А. и. один из важных разделов… …   Большая советская энциклопедия

  • Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов. Специальные функции …   Википедия

  • Тригонометрические функции — Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения …   Википедия

  • СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — отдельные классы функций, возникающих вомногих теоретич. и прикладных задачах, обычно при решении дифференц. ур ний …   Физическая энциклопедия

  • ЛЕМНИСКАТНЫЕ ФУНКЦИИ — лемнискатические функции, частный случай эллиптических функций, возникающий при обращении эллиптич. интеграла частного вида Эти интегралы появились впервые при вычислении длины дуги Бернулли лемнискаты в работах Дж. Фаньяно (G. Fagnano, 1715).… …   Математическая энциклопедия

  • Аппроксимации эллиптических интегралов — Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции [1]  функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над… …   Википедия

  • Эллиптический интеграл — В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером. В современном представлении, эллиптический интеграл  это некоторая… …   Википедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — в собственном смысле двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного г. Э. ф. обладают следующими основными свойствами. Не существует целых Э. ф., кроме констант (теорема Лиувилля). Пусть примитивные периоды …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Эллиптические интегралы и функции» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»