Эллиптические интегралы и функции

Э. интегралами называются все квадратуры вида:

∫ f(x,√ X)dx,

где Х есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от х; f есть

какая-либо рациональная функция от х и √X. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.

Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:

--------------------------------------------------

| Φ                |                          |

|------------------------------------------------|

| F(φ) = ∫       | dφ/Δφ, (1)           |

|------------------------------------------------|

| 0                 |                          |

--------------------------------------------------

где Δφ означает корень:

Δφ = √(1—k ²Sin²φ).

Значит F есть функция от φ, верхнего предела φ, заключающая в себе еще постоянную величину k, называемую модулем.

Если положим х = Sinφ, то интеграл F(φ), который теперь обозначим через u, будет иметь вид:

------------------------------------------------------------------------------

| x                  |                                                      |

|----------------------------------------------------------------------------|

| u = ∫            | dx/ [√(1—x²)(1— k²x² )] = F(φ)         |

|----------------------------------------------------------------------------|

| 0                  |                                                      |

------------------------------------------------------------------------------

Так как u есть функция от φ, то, обратно, φ есть функция от и. Эту обратную функцию называют амплитудой от и по модулю k. Ее обозначают так: φ = am( u, k) или просто φ = am u. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием u функция amu возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда φ достигает величин ½, π, ³/₂ π, 2π,...., то и достигает величин K, 2K, 3K, 4K..., где

--------------------------------------------------

| π/2            |                             |

|------------------------------------------------|

| K = ∫         | dφ/Δφ, (2)             |

|------------------------------------------------|

| 0               |                             |

--------------------------------------------------

Величины х = Sinφ, √(1—х²) = Cosφ и Δφ суть Э. функции от и; так как φ = amu, то:

х = Π (и,а) = A; √(1—x²) = Cos am u,

√(1—k²x² ) = Δ amu;

эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:

dφ = d.amu = du.Δφ = Δamu.du. (3)

Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:

--------------------------------------------------

| φ               |                             |

|------------------------------------------------|

| E(φ) = ∫     | Δφ dφ, (4)             |

|------------------------------------------------|

| 0               |                             |

--------------------------------------------------

а если, согласно предыдущему, ввести вместо dφ выражение (3) его в du, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:

--------------------------------------------------

| u               |                             |

|------------------------------------------------|

| E(u) = ∫     | Δ²amu du, (5)        |

|------------------------------------------------|

| 0               |                             |

--------------------------------------------------

При φ равном ½π, когда u (по формуле (2)) обращается в K, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой Е:

--------------------------------------------------

| ^π/₂             |                             |

|------------------------------------------------|

| E = ∫         | Δφ dφ, (6)             |

|------------------------------------------------|

| 0               |                             |

--------------------------------------------------

а по формуле (5):

Е = Е(К).

Дополнительным модулем назыв. величина k', квадрат которой равен (1— k²), так что

k² + (k')² = 1. Означим через Δ₁φ следующий корень:

Δ₁φ = √ [1 — (k)² Sin² φ]

и составим следующие интегралы:

--------------------------------------------------

| π/2              |                          |

|------------------------------------------------|

| K' = ∫           | dφ/Δ1φ,              |

|------------------------------------------------|

| 0                 |                          |

|------------------------------------------------|

| π/2              |                          |

|------------------------------------------------|

| E = ∫           | Δφ dφ,               |

|------------------------------------------------|

| 0                 |                          |

--------------------------------------------------

Лежандр показал, что между четырьмя величинами K, Е, К' и E существует следующая зависимость:

KE' + K'E—KK' = ½π (7).

Интегралы третьего рода имеют такой вид:

----------------------------------------------------------

| φ            |                                        |

|---------------------------------------------------------|

| ∫             | dφ/[(1— nSin²φ)Δφ]          |

|---------------------------------------------------------|

| 0             |                                        |

----------------------------------------------------------

Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| u                           |                                                                                     |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Π (и,а) = A ∫          | Sin²amu x du /[(1— k² Sin²amaSin²am u] (8)                   |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 0                           |                                                                                     |

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

где А = k² Sin am a Cos am а Δ am а.

Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции Θ(u) или θ(x), называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:

Θ (и) = 1 — 2qCos2x + 2q⁴Cos4x — 2q⁹Cos3x + 2q¹⁶Cos8x —... (9)

или в виде суммы бесконечного числа членов

Θ(u) = θ(x) = ∑(—1)ⁿqⁿ²e^2nxi... (10).

Здесь х имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:

x = πu/2K, q = exp(—πK'/K), i = √(—1),

n в сумме ∑ означает всякие целые полож. и отриц. числа от —∞ до + ∞.

При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:

E(u) = (E/K) u + Θ'(u)/Θ(u)... (11)

Π( (u,a) = u Θ(a)/Θ'(a[ ) + ½ logΘ(u—a)/Θ(u + a)], (12),

где Θ'(u) означает производную от Θ(u) по u.

Из функции θ(х) Якоби составляет еще три функции следующим образом.

Если прибавить к и величину K, то к х прибавится величина π/2, а если прибавить к u величину (— iK'), то к х прибавится ¹/₂ ilogq. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:

θ₁(х) = isθ(x + ¹/₂ ilogq)

θ₂(х) = sθ(x + π/2 + ^½ ilogq)

θ₃(x) = θ (x + π/3),

где s = (q)^1/4 e ^—x.

В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:

Sin am u = (√k) ^-1[θ₁(x)/θ (x)],

Cos am u = √(k'/k) θ₂(x)/θ(x),

Δam u = √k' [θ₃(x)/θ(x)],

где x = πu/2K.

Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.

Если и есть комплексная переменная (см. Мнимые величины): и = х + yi, то каждая из этих функций обратится в Х + Yi, где Х и Y будут функциями от x и у, т. е.:

Х = f₁(x, y,), Y = f₂(x, y).

Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы х и ординаты у. Обе эти поверхности периодичны и имеют период 2К параллельно оси абсцисс и другой период 2К' параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: (х, y), (х + 2К,у), (х, y + 2K'), (x + 2K, у + 2К') одинаковы.

Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:

----------------------------------------------------------------------------

| ∞               |                                                       |

|--------------------------------------------------------------------------|

| и = ∫         | dy /[√(4y³ — g₂y — g₃ )] ... (13)        |

|--------------------------------------------------------------------------|

| 0               |                                                       |

----------------------------------------------------------------------------

Нижний предел s этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от u; эту функцию обозначим так: s = pu;

квадрат её производной по u выразится так:

(p'u)² = (dpu/du)² = 4(pu)³ — g₂pu — g_3. (14).

Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:

4[(pu — e₁)(pu — e₂)(pu — e₃)],

где е₁, е₂, е₃ суть три корня уравнения третьей степени 4y³—g₂y —g₃ = 0. Величины g₂ и g₃ называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение

Δ = g³₂—27g³₂

называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. Δ)0, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через е₁ больший, через е₂ средний и через е₃ меньший корень, причем е₁ положительная величина, е₃ — величина отрицательная. Сумма е₁ + е₂ + е₃ равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через е₂, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через е₁. В этом случае, конечно, также е₁ + е₂ + е₃ = 0.

Функция pu имеет два примитивные периода

--------------------------------------------------------------------------------------------

| ∞                 |                                                                    |

|------------------------------------------------------------------------------------------|

| 2ω₁ = ∫        | dy /[√(4y³ —g₂y —g₃ )] = 2K/[√(e₁ — e₃ )]       |

|------------------------------------------------------------------------------------------|

| 0                 |                                                                    |

--------------------------------------------------------------------------------------------

и 2ω₃ = 2K/[√(e₁ — e₃ )],

причем рω₁ = е₁, рω₃ = е₃, а если положить ω₂ = ω₁ + ω₃, то рω₂ = е₂.

Величины k² и k'² выражаются так:

k² = (е₂—е₃ )/ (е₁—е₃), (k')² = (е₁—е₂ )/(е₁—е₃).

Когда k² есть действительная величина, то точки 0, 2ω₁, 2ω₃ находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.

Когда k² есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, 2ω₁, 2ω₃, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины k² отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.

Функция pu может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:

pu = e₃(e₁—e₃)/ [Sin²am(u√(e₁—e₂)];

отсюда не трудно выразить в pu все три Э. функции.

Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию σu, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:

pu = (d²/du² ) log(σu).

Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: "Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum" (в 1-м томе "Jacobi's gesammelte Werke", Б., 1881); Durège, "Theorie der elliptischen Functionen" (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, "Traité des fonctions elliptiques" (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, "Principes de la théorie des fonctions elliptiques" (П., 1897); Schwarz, "Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass"; Enneper, "Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte" (2-е изд., Галле, 1890).

Д. Б.