Потенциальная

Потенциальная функция и потенциал. - Под силой, приложенной кматериальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию,подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координатвыражаются производными от некоторой функции и (от координат x, у, zточки) по соответственным координатам, т.е. Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно,первым, указавшим на существование такой функции, и именно у силтяготения, был Лаплас ("Меcanique celeste"); а самый термин: П. функциявстречается в сочинении Грина: "An essay on the application ofmathematical analysis to the theories of electricity and magnetism",напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первыйввел это название. Если система материальных точек подвержена толькотаким силам, проекции которых на оси координат суть производные посоответственным координатам от некоторой функции U от координат точексистемы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. Тообстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу такихсил; дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике ифизике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий законизменения живой силы материальной системы, если силы, действующие нанее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких силпри бесконечно-малом перемещении системы равняется дифференциалу илибесконечно-малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, пообщему закону изменения живой силы, равняется бесконечно-маломуизменению dT живой силы Т системы, то dT=dU и отсюда Т - U=h, где hвеличина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живуюсилу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию U -потенциальной энергией. Равенство Т - U=h выражает, что сумма обеихэнергий остается постоянной при движении, или как говорят: полнаяэнергия системы остается при движении постоянной. К числу сил, имеющихпотенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания междудвумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны,направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равныкакой либо функции f(r) расстояния r точек. Потенциал такихвзаимнодействующих сил есть где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае силотталкивания, а нижний (минус) в случае сил притяжения. Например, длясил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжениямежду материальными точками масс m и M равна отношению e mM к r2,поэтому потенциал этих двух сил будет здесь e множитель, точная величина которого может быть определена приполном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величинускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеетсясплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по законуНьютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, еслиопределим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("AllgemeineLebrsatze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadratsder Entfernung wirkenden Krafte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали,что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размерытела не бесконечно-велики и если плотность его нигде не имеет бесконечнобольшой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки естьфункция ее координат x, y, z, сплошная и конечная, b) производные ее тоже сплошны и конечны. c) Сумма трех производных второго порядка: при положении точки вне тела и d) эта сумма D2V равна - 4pesm приположении точки внутри тела; здесь s означает плотность тела в томместе, где находится притягиваемая точка, m - массу ее. Свойство cдоказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. П. функция однородного шараплотности s, радиуса R и массы M =4/3peR2 на точку массы равной единицевыражается отношением eM к r (где r есть расстояние точки от центрашара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения,действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональнаквадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара быласосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара нарасстоянии r от центра, то П. функция выражается так: 2pes (R2 - 1/3 r2)и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину4/3epsr, или т.е. равна отношению eM1 к r2, где M1=4/3psr3 есть масса той частишара, которая находится внутри сферы радиуса у. отсюда следует, что тотслой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, неоказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемоеоднородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическимисферами или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическимии подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостейкоторого либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полостинет.