- Интеграл Лебега — Стилтьеса
-
Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.
Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.
Содержание
Определение
Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой , и на нем определена измеримая функция .
Определение 1. Пусть — индикатор некоторого измеримого множества, то есть , где . Тогда интеграл Лебега функции по определению:
Определение 2. Пусть — простая функция, то есть , где , а — конечное разбиение на измеримые множества. Тогда
- .
Определение 3. Пусть теперь — неотрицательная функция, то есть . Рассмотрим все простые функции , такие что . Обозначим это семейство . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от f задаётся формулой:
Наконец, если функция f произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:
где
- .
Определение 4. Пусть — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:
- .
Определение 5. Пусть наконец произвольное измеримое множество. Тогда по определению
- ,
где — индикатор-функция множества A.
Пример
Рассмотрим функцию Дирихле , заданную на , где — борелевская σ-алгебра на , а — мера Лебега. Эта функция принимает значение в рациональных точках и в иррациональных. Легко увидеть, что не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:
Действительно, мера отрезка [0,1] равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна 1 − 0 = 1.
Замечания
- Так как , измеримая функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
- В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
- Если функция определена на вероятностном пространстве и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.
Простейшие свойства интеграла Лебега
- Интеграл Лебега линеен, то есть
- ,
где — произвольные константы;
- Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если п.в., и интегрируема, то интегрируема и , и более того
- ;
- Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если п.в., то
- .
Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций
Wikimedia Foundation. 2010.