Функция Дирихле

Фу́нкция Дирихле́ — функция $D\colon\R\mapsto\{0,1\}$, принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,

$D(x) = \begin{cases}1, & x\in \mathbb Q, \\ 0, & x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q. \end{cases}$

Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.

Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике.

Названа в честь немецкого математика Дирихле.

Представление

Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как двойной предел последовательности непрерывных функций:

• $D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{n}m!\pi x$.

Свойства

• Область определения: $(- \infty ; + \infty )$.
• Область значений: $\,\{0;1\}$.

Периодичность

Функция Дирихле периодическая, её периодом является любое положительное рациональное число. Основного периода функция не имеет.

Непрерывность

Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией: во всякой окрестности каждой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа, и, следовательно, данная функция не будет иметь предела ни в одной точке области определения; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.

Измеримость

• Функция Дирихле — простая функция.
• $D(x)$ является $\mathcal{B}(\R)$-измеримой функцией.

Интегрируемость

Интеграл Римана

Функция Дирихле не является интегрируемой в смысле Римана.

Интеграл Лебега

Интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю:

$\int\limits_X D(x)\,d\mu = 1\cdot \mu(\Q)+ 0\cdot \mu(\R\backslash\Q) = 1\cdot 0 + 0\cdot\infty = 0$.