Центроид треугольника

Центроид — точка пересечения медиан в треугольнике. Центроид традиционно обозначается латинской буквой $M$.

Свойства

В треугольнике

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
  • В частности, если $M$ — центроид треугольника $ABC$ то для любой точки O верно, что

    $\overrightarrow{OM} = 1/3(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$.

• точка пересечения медиан является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника имеет наименьшее значение (теорема Лейбница).

История

Факт, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения

В четырёхугольнике

Центроид произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника (и делит их пополам).

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0

См. также

• Ортоцентр
• Инцентр
• Замечательные точки треугольника