Ортоцентрическая система

Ортоцентр (от греч. ορθοξ — прямой) — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находится внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Несмотря на то, что пересечение трёх высот треугольника в одной точке казалось очевидным, строгое доказательство этого факта дал Карл Фридрих Гаусс только в XVIII веке.

Свойства

• Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.
  • Радиусы окружностей проходящих через любые три точки ортоцентрической системы равны.
• Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
• Точки, симметричные ортоцентру относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
• Точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
• Если О — центр описанной окружности ΔABC, то $\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$.
• Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

См. также

• Центроид
• Инцентр
• Замечательные точки треугольника

Ссылки

• Живой чертёж