Теорема Хана

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном продолжении линейного функционала.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты:

Любой линейный функционал $f(x)$, определённый на подпространстве $L$ линейного пространства $X$ и удовлетворяющий условию $|f(x)| \leqslant p(x), \forall x \in L$, где $p(x)$ — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве $X$) то $f(x)$ может быть продолжен на все пространство $X$ с сохранением этого условия.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала:

Всякий линейный ограниченный функционал $f(x)$, определённый на линейном многообразии $L$ линейного нормированного пространства $X$, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.

Доказательство

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть $z\in X\setminus Y$. Рассмотрим линейное пространство вида:

$Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.$

Продолжение $f$ на $Y_z$ запишем:

$\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),$

где $\tilde f(z)$ — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных $y_1, y_2\in Y$ и $a,b>0$ выполняется:

$f(ay_1+by_2)=af(y_1)+bf(y_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant$

${} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =$

${}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant$

$\leqslant a p(y_1-bz) + b p(y_2+az).$

Отсюда

$a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)$

Как следствие

$\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.$

Определим $c\in \R$ так

$\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.$

Выполняется равенство

$ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R$.

Определим

$\tilde f(z)=c.$

Для всех $y\in Y$ и произвольных $a\in \R$ выполняется неравенство:

$\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),$

поэтому

$\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.$

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть $E$ является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. также

• Выпуклый функционал
• Банаховы пределы

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 15 мая 2011.

Ссылки

Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996.