Частично упорядоченное множество

У этого термина существуют и другие значения, см. Упорядоченное множество.

Подмножества {x, y, z}, упорядоченные отношением включения

Частично упорядоченное множество — математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими (какие элементы больше каких). В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».

В качестве абстрактного примера можно привести совокупность подмножеств множества из трёх элементов $\{ x, y, z\}$ (булеан данного множества), упорядоченную по отношению включения.

Определение и примеры

Порядком, или частичным порядком, на множестве $M$ называется бинарное отношение $\varphi$ на $M$ (определяемое некоторым множеством $R_{\varphi} \subset M \times M$), удовлетворяющее следующим условиям^[1]:

• Рефлексивность: $\forall a \; (a \varphi a)$
• Транзитивность: $\forall a, b, c \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi c) \Rightarrow a \varphi c$
• Антисимметричность: $\forall a, b \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi a) \Rightarrow a = b$

Множество $M$, на котором задано отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным (англ. partially ordered set, poset). Если быть совсем точным^[2], то частично упорядоченным множеством называется пара $\langle M, \varphi \rangle$, где $M$ — множество, а $\varphi$ — отношение частичного порядка на $M$.

Терминология и обозначения

Отношение частичного порядка обычно обозначают символом $\leqslant$, по аналогии с отношением «меньше либо равно» на множестве действительных чисел. При этом, если $a \leqslant b$, то говорят, что элемент $a$ не превосходит $b$, или что $a$ подчинён $b$.

Если $a \leqslant b$ и $a \neq b$, то пишут $a < b$, и говорят, что $a$ меньше $b$, или что $a$ строго подчинен $b$.

Иногда, чтобы отличить произвольный порядок на некотором множестве от известного отношения «меньше либо равно» на множестве действительных чисел, вместо $\leqslant$ и $<$ используют специальные символы $\preccurlyeq$ и $\prec$ соответственно.

Строгий и нестрогий порядок

Отношение, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, также называют нестрогим, или рефлексивным порядком. Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности (тогда свойство антисимметричности заменится на асимметричность):

$\forall a \; \neg (a \varphi a)$

то получим определение строгого, или антирефлексивного порядка.

Если $\leqslant$ — нестрогий порядок на множестве $M$, то отношение $<$, определяемое как:

$a < b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a \leqslant b) \wedge (a \neq b)$

является строгим порядком на $M$. Обратно, если $<$ — строгий порядок, то отношение $\leqslant$, определенное как

$a \leqslant b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a < b) \vee (a = b)$

является нестрогим порядком.

Поэтому всё равно — задать на множестве нестрогий порядок, или строгий порядок. В результате получится одна и та же структура. Разница только в терминологии и обозначениях.

Примеры

Подмножества {x, y, z}, упорядоченные отношением включения

• Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ частично упорядочено по отношению «меньше либо равно» — $\leqslant$.

• Пусть $M$ — множество всех действительнозначных функций, определенных на отрезке $[a,b]$, то есть функций вида

$f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$

Введём отношение порядка $\leqslant$ на $M$ следующим образом: $f \leqslant g$, если для всех $x \in [a,b]$ выполнено неравенство $f(x) \leqslant g(x)$. Очевидно, введенное отношение в самом деле является отношение частичного порядка.

• Пусть $M$ — некоторое множество. Множество $\mathcal{P}(M)$ всех подмножеств $M$ (так называемый булеан), частично упорядочено по включению $M \subseteq N$.

• Множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$ частично упорядочено по отношению делимости $m \mid n$.

Связанные определения

Несравнимые элементы

Если $a$ и $b$ — действительные числа, то имеет место только одно из следующих соотношений:

$a < b, \qquad a=b, \qquad b<a$

В случае, если $a$ и $b$ — элементы произвольного частично упорядоченного множества, то существует четвёртая логическая возможность: не выполнено ни одно из указанных трех соотношений. В этом случае элементы $a$ и $b$ называются несравнимыми. Например, если $M$ — множество действительнозначных функций на отрезке $[0,1]$, то элементы $f(x) = x$ и $g(x) = 1-x$ будут несравнимы. Возможность существования несравнимых элементов объясняет смысл термина «частично упорядоченное множество».

Минимальный/максимальный и наименьший/наибольший элементы

Основные статьи: Максимум (математика), Минимум (математика)

Из-за того, что в частично упорядоченном множестве могут быть пары несравнимых элементов, вводятся два различных определения: минимального элемента и наименьшего элемента.

Элемент $a \in M$ называется минимальным (англ. minimal element), если не существует элемента $b < a$. Другими словами, $a$ — минимальный элемент, если для любого элемента $b \in M$ либо $b>a$, либо $b=a$, либо $b$ и $a$ несравнимы. Элемент $a$ называется наименьшим (англ. least element, lower bound (opp. upper bound)), если для любого элемента $b \in M$ имеет место неравенство $b \geqslant a$. Очевидно, всякий наименьший элемент является также минимальным, но обратное в общем случае неверно: минимальный элемент $a$ может и не быть наименьшим, если существуют элементы $b$, не сравнимые с $a$.

Очевидно, что если в множестве существует наименьший элемент, то он единственен. А вот минимальных элементов может быть несколько. В качестве примера рассмотрим множество $\mathbb{N}\setminus \{ 1 \} = \{ 2, 3, \ldots \}$ натуральных чисел без единицы, упорядоченное по отношению делимости $\mid$. Здесь минимальными элементами будут простые числа, а вот наименьшего элемента не существует.

Аналогично вводятся понятия максимального (англ. maximal element) и наибольшего (англ. greatest element) элементов.

Верхние и нижние грани

Пусть $A$ — подмножество частично упорядоченного множества $\langle M, \leqslant\rangle$. Элемент $u \in M$ называется верхней гранью (англ. upper bound) $A$, если любой элемент $a \in A$ не превосходит $u$. Аналогично вводится понятие нижней грани (англ. lower bound) множества $A$.

Любой элемент, больший, чем некоторая верхняя грань $A$, также будет верхней гранью $A$. А любой элемент, меньший, чем некоторая нижняя грань $A$, также будет нижней гранью $A$. Эти соображения ведут к введению понятий наименьшей верхней грани (англ. least upper bound) и наибольшей нижней грани (англ. greatest lower bound).

Верхнее и нижнее множество

Элементы верхнего множества $2^{\{1,2,3,4\}} \uparrow \{1\}$ отмечены зелёным

Для элемента $m$ частично упорядоченного множества $\langle M, \leqslant\rangle$ верхним множеством (англ. upper set, upset) называется множество $M \uparrow m$ всех элементов, которым $m$ предшествует ($\{ x \in M \mid m \leqslant x\}$).

Двойственным образом определяется нижнее множество (англ. down set, lower set), как множество всех элементов, предшествующих заданному: $M \downarrow m \stackrel{\mathrm{def}}{ = } \{ x \in M \mid x \leqslant m\}$.

Специальные типы частично упорядоченных множеств

Линейно упорядоченные множества

Основная статья: Линейно упорядоченное множество

Пусть $\langle M, \leqslant\rangle$ — частично упорядоченное множество. Если в $M$ любые два элемента сравнимы, то множество $M$ называется линейно упорядоченным (англ. linearly ordered set). Линейно упорядоченное множество также называют совершенно упорядоченным (англ. totally ordered set), или просто, упорядоченным множеством^[3]. Таким образом, в линейно упорядоченном множество для любых двух элементов $a$ и $b$ имеет место одно и только одно из соотношений: либо $a<b$, либо $a=b$, либо $b<a$.

Также всякое линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества называют цепью (англ. chain), то есть цепь в частично упорядоченном множестве $\langle M, \leqslant \rangle$ — такое его подмножество, в котором любые два элемента сравнимы.

Из приведенных выше примеров частично упорядоченных множеств только множество действительных чисел является линейно упорядоченным. Множество действительнозначных функций на отрезке $[a, b]$ (при условии $a<b$), булеан $\mathcal{P}(M)$ (при $|M|\geqslant 2$), натуральные числа с отношением делимости — не являются линейно упорядоченными.

В линейно упорядоченном множестве понятия наименьшего и минимального, а также наибольшего и максимального, совпадают.

Вполне упорядоченные множества

Основная статья: Вполне упорядоченное множество

Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным (англ. well-ordered), если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент^[4]. Такой порядок на множестве называется полным порядком (англ. well-order, в контексте, где его невозможно спутать с полным порядком в смысле полных частично упорядоченных множеств, англ. complete order).

Классический пример вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел $\mathbb{N}$. Утверждение о том, что любое непустое подмножество $\mathbb{N}$ содержит наименьший элемент, равносильно принципу математической индукции. В качестве примера линейно упорядоченного, но не вполне упорядоченного множества можно привести множество неотрицательных чисел, упорядоченное естественным образом $\mathbb{R}_{+} = \{ x: x \geqslant 0\}$. Действительно, его подмножество $\{x: x > 1\}$ не имеет наименьшего элемента.

Вполне упорядоченные множества играют исключительно важную роль в общей теории множеств.

Полное частично упорядоченное множество

Полное частично упорядоченное множество (англ. complete partial ordered, ω-complete partial ordered) — частично упорядоченное множество, у которого есть дно — единственный элемент, который предшествует любому другому элементу и у каждого направленного подмножества которого есть точная верхняя граница^[5]. Полные частично упорядоченные множества применяются в λ-исчислении и информатике, в частности, на них вводится топология Скотта, на основе которой строится непротиворечивая модель λ-исчисления и денотационная семантика вычислений. Специальным случаем полного частично упорядоченного множества является полная решётка — если любое подмножество, не обязательно направленное, имеет точную верхнюю грань, то оно оказывается полной решёткой.

Упорядоченное множество $M$ тогда и только тогда является полным частично упорядоченным, когда каждая функция $f \colon M\rightarrow M$, монотонная относительно порядка ($a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)$) обладает хотя бы одной неподвижной точкой: $\exists _{x \in M} f(x)=x$.

Любое множество $M$ можно превратить в полное частично упорядоченное выделением дна $\bot$ и определением порядка $\leqslant$ как $\bot \leqslant m$ и $m \leqslant m$ для всех элементов $m$ множества $M$.

Теоремы о частично упорядоченных множествах

К числу фундаментальных теорем о частично упорядоченных множествах относятся принцип максимума Хаусдорфа и лемма Куратовского — Цорна, которые являются эквивалентными аксиоме выбора.

Примечания

1. ↑ Колмогоров, 2004, с. 36
2. ↑ Александров, 1977, с. 78
3. ↑ Колмогоров, 2004, с. 38
4. ↑ Колмогоров, 2004, с. 40
5. ↑ Барендрегт, 1985, с. 23

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
• Барендрегт, Хенк Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика = The Lambda Calculus. Its syntax and semantics. — М.: Мир, 1985. — 606 с. — 4800 экз.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — 4-е изд. — М.: УРСС, 2007. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2

См. также

• Решётка
• Порядковое число
• Предпорядок