Линейный функционал

Линейный функционал — функционал, обладающий свойством линейности по своему аргументу:

$\Phi[\mathbf f+\mathbf g] = \Phi[\mathbf f] + \Phi[\mathbf g]$

$\Phi[c\ \mathbf f] = c\ \Phi[\mathbf f]$

где $~\Phi$ — линейный функционал, $\mathbf f$ и $\mathbf g$ — функции из его области определения, $~c$ — число (константа).

Иными словами, это линейное отображение из (некоторого) пространства функций во множество чисел — чаще всего подразумеваемых вещественными, или, еще иначе, линейный оператор, действующий из (некоторого) пространства функций в $\mathbb R$ (иногда в $\mathbb C$).

Линейные функционалы играют особую роль в функциональном анализе.

• Как и вообще термин 'функционал', термин 'линейный функционал' употребляется и вообще для аргументов из векторных пространств — в смысле линейного отображения из какого-то векторного пространства в его пространство скаляров, то есть — в этом употреблении — его аргументом может быть не обязательно функция.

• Линейный функционал является аналогом оператора проецирования для бесконечномерных пространств (в частности, для пространств функций), а также применяется как обобщающий термин, покрывающий равно случаи конечномерных и бесконечномерных пространств.

• Одним из важнейших примеров линейного функционала служит скалярное произведение с фиксированной функцией (элементом пространства):

$\Phi[\mathbf f] = \int_\Omega f(x) \phi(x) d\Omega$

(может быть также использовано интегрирование с весовой функцией).

• Такие линейный функционалы, представляющие скалярное произведение $\mathbf f$ с каждой из базисных функций полного набора, дают прямое преобразование Фурье.

Примеры

• $\Phi[\mathbf f] = \int_{\Omega} L f(x) d\Omega$, где $L$ — линейный оператор, действующий на функцию $f(x)$, $\Omega$ — область интегрирования,

в частности:

• $\int_1^2 f(x) dx$,
• $\int_1^2( 5 \frac{d^2f}{dx^2} + 2 \frac{df}{dx} + 3f) dx$,
• $\int_1^2\int_3^4 f(x,y) dx dy$,
• $\int_1^2 K(x) f(x) dx$, где $\mathbf K$ — некоторая фиксированная функция,

• $\Phi[\mathbf f] = f(11)$
• $\Phi[\mathbf f] = f(1) - f(0)$
• $\Phi[\mathbf f] = \frac{d^3f}{dx^3}|_{x=0}$
• $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,3) dx$

(легко убедиться, что для всех этих примеров свойство линейности отображения соблюдается).

Замечания

• Особую роль играют непрерывные линейные функционалы, иначе называемые обобщёнными функциями. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов не непрерывны при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на сепарабельных пространствах — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
• Используя обобщённые функции, в частности дельта-функцию Дирака и её производные, можно многие линейные функционалы, в частности из приведённых в качестве примеров выше, представить в виде интегральных функционалов, например:

• $\Phi[\mathbf f] = f(1) - f(0) = \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-1)f(x)dx - \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-0)f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}( \delta(x-1) - \delta(x) ) f(x)dx$.

В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).

См. также

• Обобщённая функция
• Ряд Фурье
• Преобразование Фурье