Дзета-функция Гурвица

В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

$\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}.$

Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s и q. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функции Гурвица при q=1.

Аналитическое продолжение

Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. В точке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1. Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1 равен:

$\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = \frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q)$,

где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — это дигамма-функция.

Представления в виде рядов

Представление в виде сходящегося степенного ряда для q > −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 было получено в 1930 году Гельмутом Гассе (англ.)^[1]

$\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.$

Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножестве комплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма может быть представлена в виде n-ой конечной разности для $q^{1-s}$, то есть:

$\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s}$

где Δ — оператор конечной разности. Таким образом

$\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s}$

$= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}.$

Интегральные представления

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина (англ.):

$\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}dt$

для Re(s)>1 и Re(q) >0.

Формула Гурвица

$\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]$,

где

$\beta(x;s)= 2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}= \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})$.

Это представление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Здесь $\text{Li}_s (z)$ — это полилогарифм.

Функциональное уравнение

Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицa слева и справа от прямой Re(s)=1 в комплексной s-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:

$\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = \frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s } \sum_{k=1}^n \left[cos \left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\; \zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\right]$

верно для всех значений s.

Ряд Тейлора

Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражается через дзета-функцию Гурвица:

$\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q).$

Таким образом ряд Тейлора имеет вид:

$\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!} \frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x).$

Ряд Лорана

Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использовано для определения констант Стильтьеса (англ.), которые появляются в разложении:

$\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n.$

Преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функции Гурвица является хи-функцией Лежандра^[2]

Связь с многочленами Бернулли

Определённая выше функция $~\beta(x;n)$ обобщает многочлены Бернулли:

$B_n(x) = -Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right]$.

С другой стороны,

$\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.$

В частности, при $n=0$:

$\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x.$

Связь с тета-функцией Якоби

Если $~\vartheta (z,\tau)$ — это тета-функция Якоби (англ.), тогда

$\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= \pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]$.

Эта формула верна для Re(s) > 0 и любого комплексного z, не являющегося целым числом. Для целого z=n формула упрощается:

$\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= 2\ \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s) =2\ \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s)$.

где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение является функциональным уравнением для дзета-функция Римана.

Связь с L-функцией Дирихле

При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может быть представлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот. Если q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 и 0 < n < k, тогда

$\zeta(s,n/k)=\sum_\chi\overline{\chi}(n)L(s,\chi),$

при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулю k. In the opposite direction we have the linear combination

$L(s,\chi)=\frac {1}{k^s} \sum_{n=1}^k \chi(n)\; \zeta \left(s,\frac{n}{k}\right).$

в чатсности верно следующее представление:

$k^s\zeta(s)=\sum_{n=1}^k \zeta\left(s,\frac{n}{k}\right),$

обобщающее

$\sum_{p=0}^{q-1}\zeta(s,a+p/q)=q^s\,\zeta(s,qa).$ (Верно при натуральном q и ненатуральном 1 − qa.)

Рациональные значения аргументов

Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношениях для рациональных значений аргументов.^[2] В частности, для многочленов Эйлера $~E_n(x)$:

$E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n,\frac{2k-1}{2q}\right) \cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}$

и

$E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n+1,\frac{2k-1}{2q}\right) \sin \frac{(2k-1)\pi p}{q}$,

Кроме того

$\zeta\left(s,\frac{2p-1}{2q}\right) = 2(2q)^{s-1} \sum_{k=1}^q \left[ C_s\left(\frac{k}{q}\right) \cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) + S_s\left(\frac{k}{q}\right) \sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) \right]$,

верное для $1\le p \le q$. Зжесь $~C_\nu(x)$ и $~S_\nu(x)$ выражаются через хи-функциию Лежандра $~\chi_\nu$ как

$C_\nu(x) = \operatorname{Re}\, \chi_\nu (e^{ix})$

и

$S_\nu(x) = \operatorname{Im}\, \chi_\nu (e^{ix}).$

Приложения

Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чаще всего встречается в теории чисел, где её теория является наиболее развитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов и динамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математической статистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частиц возникает в формуле Швингера^[3], дающей точный результат для показателя рождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитного поля.

Частные случаи и обобщения

Дзета-функция Гурвица связяна с полигамма-функцией:

$\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z).\,$

Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:

$\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s}$

то есть

$\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).\,$

Примечания

1. ↑ Helmut Hasse Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (нем.) // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Т. 32. — № 1. — DOI:10.1007/BF01194645
2. ↑ ^{1 2} Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments (англ.) // Math. Comp.. — 1999. — № 68. — С. 1623-1630.
3. ↑ J. Schwinger On gauge invariance and vacuum polarization // Physical Review. — 1951. — Т. 82. — № 5. — С. 664–679. — DOI:10.1103/PhysRev.82.664

Литература

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4.
• Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201—206.
• Linas Vepstas, The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta
• Istvan Mezo and Ayhan Dil, Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function, Journal of Number Theory, (2010) 130, 2, 360—369.

Ссылки

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Hurwitz Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.