- Мероморфная функция
-
Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.Мероморфная функция одного комплексного переменного в области (или на римановой поверхности ) — голоморфная функция в области , которая в каждой особой точке имеет полюс (таким образом — изолированная точка множества , не имеющего предельных точек в , и ).
Или проще: Функция комплексной переменной называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Совокупность всех мероморфных функций на области является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.
Свойства
- Отношение любых голоморфных в функций, и , является мероморфной функцией в .
- Обратно, всякая мероморфная функция в области (и на некомпактной римановой поверхности ) представляется в виде , где и голоморфны и не имеют общих нулей в .
Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в .
- Всякая мероморфная функция определяет непрерывное отображение области в сферу Римана , которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры .
- Обратно, всякое голоморфное отображение , определяет мероморфную функцию на . При этом множество полюсов совпадает с дискретным множеством .
Таким образом, мероморфная функция одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.
- На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
- На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.
См. также
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
Категория:- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.