Абсолютная сходимость

У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость.

Сходящийся ряд $\sum a_n$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\sum |a_n|$, иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл $\int f(x)\,dx$ от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от ее модуля $\int |f(x)|\,dx$.

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Ряды

Признаки абсолютной сходимости

Признак сравнения

Если $\exist N_0: |a_n| \leqslant b_n$ при $n \geqslant N_0$, то:

• если ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ сходится абсолютно
• если ряд $\sum a_n$ расходится, то ряд $\sum b_n$ расходится

Согласно критерию Коши, $\forall \varepsilon > 0\ \exist N \geqslant N_0\ \forall m \geqslant n \geqslant N:\left|\sum_{k=n}^{m}b_k\right| \leqslant \varepsilon$. Значит, $\left|\sum_{k=n}^{m}a_k\right| \leqslant \sum_{k=n}^{m}|a_k| \leqslant \sum_{k=n}^{m}b_k \leqslant \left|\sum_{k=n}^{m}b_k\right| \leqslant \varepsilon$, и по критерию Коши ряд $\sum a_n$ сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд $\sum b_n$ сходился, то и ряд $\sum a_n$ сходился бы.

Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами

Пусть $a_1 \geqslant a_2 \geqslant a_3 \geqslant ... \geqslant 0$. Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + ...$

Доказательство  

Обозначим:

$s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$

$t_k = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^{k}a_{2^k}$

Поскольку сходимость ряда с неотрицательными членами эквивалентна ограниченности последовательности его частичных сумм, то достаточно показать, что $s_n$ и $t_k$ ограничены или не ограничены одновременно.

При $n < 2^k$ имеем

$s_n \leqslant a_1 + (a_2 + a_3) + ... + (a_{2^k} + ... + a_{2^{k+1}-1}) \leqslant a_1 + 2a_2 + ... + 2^{k}a_{2^k} = t_k$

Таким образом, $s_n \leqslant t_k$

С другой стороны, при $n > 2^k$

$s_n \geqslant a_1 + a_2 + (a_3 + a_4) + ... + (a^{2^{k-1}+1} + ... + a_{2^k}) \geqslant \frac{1}{2}a_1 + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{k-1}a_{2^k} = \frac{1}{2}t_k$

Таким образом, $2s_n \geqslant t_k$ и последовательности $s_n$ и $t_k$ или обе ограничены, или обе не ограничены.

Признаки Коши и Даламбера

Признак д’Аламбера

Ряд $\sum a_n$

1. Сходится абсолютно, если $\varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$
2. Расходится, если $\varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1$
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leqslant 1 \leqslant \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

Признак Коши

Пусть задан ряд $\sum a_n$ и $\alpha = \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. Тогда

1. Если $\alpha < 1$, то ряд сходится абсолютно
2. Если $\alpha > 1$, то ряд расходится
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\alpha = 1$

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями $\varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ и $\alpha$ соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Признак Коши сильнее признака Даламбера в том смысле, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов; существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Интегральный признак Коши — Маклорена

Пусть задан ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n, a_n \geqslant 0$ и функция $f(x): \R \to \R$ такая, что:

• $f(x)$ нестрого монотонно убывает: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geqslant f(x_2)$
• $\forall n f(n) = a_n$

Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ и интеграл $\int\limits_1^\infty f(x) dx$ сходятся или расходятся одновременно, причем $\forall k \geqslant 1 \ \sum_{n=k}^{\infty} a_n \geqslant \int\limits_k^{\infty} f(x) dx \geqslant \sum_{n=k+1}^{\infty} a_n$

Признак Раабе

Пусть задан ряд $\sum a_n$, $a_n > 0$ и $R_n = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right)$.

1. Если $\varliminf_{n \to \infty} R_n > 1$, то ряд сходится
2. Если $\varlimsup_{n \to \infty} R_n \leqslant 1$, то ряд расходится
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\varliminf_{n \to \infty} R_n \leqslant 1 \leqslant \varlimsup_{n \to \infty} R_n$

Признак Раабе основан на сравнении с обобщенным гармоническим рядом

Действия над рядами

• Если оба ряда $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся абсолютно, то и их сумма $\sum (a_n + b_n)$ сходится абсолютно
• Если хотя бы один из рядов $\sum_{n=0}^\infty a_n$ и $\sum_{n=0}^\infty b_n$ сходится абсолютно, то их произведение по Коши $\sum c_n, c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
• Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.

Примеры

Рассмотрим ряд $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + ...$. Для этого ряда:

• $\varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$
• $\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2}\right)^n = +\infty$

Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-(-1)^n}$

• $\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1+1}}{2^{n-1}} = 8$
• $\varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1-1}}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}$
• $\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} 2 \sqrt[n]{2^{(-1)^n}} = 2$

Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$ сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha \leqslant 1$, однако:

• $\varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = 1$
• $\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} n^{\alpha/n} = 1$
• $\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = 1$

Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода

Определение

Несобственный интеграл первого рода $\int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$.

Свойства

• из сходимости интеграла $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$ вытекает сходимость интеграла $\int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx$.
• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
• Если интеграл $\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx$ расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода

Определение

Пусть $f(x)$ определена и интегрируема на $[a; b- \varepsilon\ ] \quad \forall \varepsilon\ \in (0; b-a)$, неограничена в левой окрестности точки $b$. Несобственный интеграл второго рода $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$.

Свойства

• из сходимости интеграла $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$ вытекает сходимость интеграла $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$.
• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
• Если интеграл $\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$ расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Ссылки

.

Источники

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

См. также

• Условная сходимость
• Безусловная сходимость

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.