Полилогарифм

Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая $\operatorname{Li}_s(z)$ и определяемая как бесконечный степенной ряд

$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},$

где s и z — комплексные числа, причём $|z|<1$. Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения.

Карта высот полилогарифма на комплексной плоскости

$\operatorname{Li}_{-3}(z)$   $\operatorname{Li}_{-2}(z)$   $\operatorname{Li}_{-1}(z)$   $\operatorname{Li}_{0}(z)$   $\operatorname{Li}_{1}(z)$   $\operatorname{Li}_{2}(z)$   $\operatorname{Li}_{3}(z)$

Частным случаем является $s=1$, при котором $\operatorname{Li}_{1}(z)=-\ln(1-z)$. Функции $\operatorname{Li}_{2}(z)$ и $\operatorname{Li}_{3}(z)$ получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение

$\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t.$

Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна.

Частные значения

$\operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2$

$\operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2$

$\operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3) \,,$

$\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z)$

$\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}$

$\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}$

$\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}$

$\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}$

$\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,.$

Литература

• Abel N.H. Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II. — Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn, 1881. — P. 189–193. (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
• Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4
• (April 1997) «On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants» (PDF). Mathematics of Computation 66 (218): 903–913. DOI:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
• Bailey, D.H. & Broadhurst, D.J. (June 20, 1999), "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder", arΧiv:math.CA/9906134 [math.CA] 

• Berndt B.C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. — New York: Springer-Verlag, 1994. — P. 323–326. — ISBN 0-387-94109-6
• (1992) «On the evaluation of Legendre's chi-function». Mathematics of Computation 59 (199): 157–163. DOI:10.2307/2152987.
• (2001) «Special Values of Multiple Polylogarithms». Transactions of the American Mathematical Society 353 (3): 907–941. DOI:10.1090/S0002-9947-00-02616-7.
• Clunie, J. (1954). «On Bose-Einstein functions». Proceedings of the Physical Society, Section A 67 (7): 632–636. DOI:10.1088/0370-1298/67/7/308.
• (1992) «A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder» (PS). Experimental Mathematics 1 (1): 25–34.
• Coxeter, H.S.M. (1935). «The functions of Schläfli and Lobatschefsky». Quarterly Journal of Mathematics (Oxford) 6 (1): 13–29. DOI:10.1093/qmath/os-6.1.13.
• (1997) «Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms» (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society 125 (9): 2543–2550. DOI:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.
• Cvijovic, D. (2007). «New integral representations of the polylogarithm function» (PDF). Proceedings of the Royal Society (London), Series A 463 (2080): 897–905. DOI:10.1098/rspa.2006.1794.
• Higher Transcendental Functions, Vol. 1. — New York: Krieger, 1981.
• (1975) «Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function». Mathematics of Computation 29 (130): 582–599. DOI:10.2307/2005579.
• GNU Scientific Library Reference Manual (2010). Архивировано из первоисточника 14 мая 2012. Проверено 13 июня 2010.
• Tables of Integrals, Series, and Products. — 4th. — New York: Academic Press, 1980. — ISBN 0-12-294760-6
• (2008) «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent». The Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. DOI:10.1007/s11139-007-9102-0.
• Hain, R.M. (March 25, 1992), "Classical polylogarithms", arΧiv:alg-geom/9202022 [alg-geom] 

• Tables of Functions with Formulae and Curves. — 4th. — New York: Dover Publications, 1945.
• Jonquière, A. (1889). «Note sur la série $\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}$» (French) (PDF). Bulletin de la Société Mathématique de France 17: 142–152.
• (1970) «On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation». BIT 10: 38–74. DOI:10.1007/BF01940890.
• Kirillov, A.N. (1995). «Dilogarithm identities». Progress of Theoretical Physics Supplement 118: 61–142. DOI:10.1143/PTPS.118.61.
• Lewin L. Dilogarithms and Associated Functions. — London: Macdonald, 1958.
• Lewin L. Polylogarithms and Associated Functions. — New York: North-Holland, 1981. — ISBN 0-444-00550-1
• Lewin L. (Ed.) Structural Properties of Polylogarithms. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. — Vol. 37. — ISBN 0-8218-1634-9
• Markman, B. (1965). «The Riemann Zeta Function». BIT 5: 138–141.
• Maximon, L.C. (2003). «The Dilogarithm Function for Complex Argument» (PDF). Proceedings of the Royal Society (London), Series A 459 (2039): 2807–2819. DOI:10.1098/rspa.2003.1156.
• (1938) «The computation of Fermi-Dirac functions». Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A 237 (773): 67–104. DOI:10.1098/rsta.1938.0004.
• Nielsen, N. (1909). «Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen» (German). Nova Acta Leopoldina (Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher) XC (3): 121–212.
• Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. — Newark, NJ: Gordon and Breach, 1990. — ISBN 2-88124-682-6 (see § 1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
• Robinson, J.E. (1951). «Note on the Bose-Einstein integral functions». Physical Review, Series 2 83 (3): 678–679. DOI:10.1103/PhysRev.83.678.
• Rogers, L.J. (1907). «On function sum theorems connected with the series $\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$». Proceedings of the London Mathematical Society (2) 4 (1): 169–189. DOI:10.1112/plms/s2-4.1.169.
• Schrödinger E. Statistical Thermodynamics. — 2nd. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.
• Truesdell, C. (1945). «On a function which occurs in the theory of the structure of polymers». Annals of Mathematics, Series 2 46 (1): 144–157. DOI:10.2307/1969153.
• Vepstas, L. (February 2007), "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions", arΧiv:math.CA/0702243 [math.CA] 

• A Course of Modern Analysis. — 4th. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.
• Wood, D.C. The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92* (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (June 1992). Архивировано из первоисточника 14 мая 2012. Проверено 1 ноября 2005.
• Zagier, D. (1989). "The dilogarithm function in geometry and number theory". Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 12: 231–249, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press.  (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131-145, and as Chapter I of (Zagier 2007).)
• Zagier D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — P. 3–65. — ISBN 978-3-540-30307-7

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Polylogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.