Признаки делимости

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному^[1]. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.

Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Понятия делимости, равноделимости и равноостаточности

Основные статьи: Делимость, Равноостаточность

Если для двух целых чисел $a$ и $b$ существует такое целое число $q,$ что

$b\,q=a,$

то говорят, что число $a$ делится на $b.$

Два целых числа $a$ и $b$ называются равноделимыми на $m,$ если либо они оба делятся на $m,$ либо оба не делятся^[2].

Два целых числа $a$ и $b$ равноостаточны при делении на натуральное число $m$ (или сравнимы по модулю $m$), если при делении на $m$ они дают одинаковые остатки, то есть существует такие целые числа $q_1,\,q_2,\,r,$ что

$a = m\,q_1 + r,\;\;b = m\,q_2 + r.$

Общие принципы построения

Пусть требуется определить, делится ли некоторое натуральное число $A$ на другое натуральное число $m.$ Для этого будем строить последовательность натуральных чисел:

$A_0,\,A_1,\,A_2,\,A_3,\,\dots,\,A_n,$

такую, что:

1. $A_0 = A;\,$
2. каждый член последовательности вполне определяется предыдущим;
3. $A_i < A_{i-1},\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots,\,n-1;$
4. последний член последовательности меньше $m,$ то есть $0 \leqslant A_n < m.\,$
5. все члены последовательности являются равноделимыми на $m.$

Тогда если последний член этой последовательности равен нулю, то $A$ делится на $m,$ в противном случае $A$ на $m$ не делится.

Способ (алгоритм) построения такой последовательности и будет искомым признаком делимости на $m.$ Математически он может быть описан с помощью функции $f(x),\,$ определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

$A_i = f\left(A_{i-1}\right),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots,\,n,$

удовлетворяющей следующим условиям:

1. при $x < m\,$ значение $f(x)\,$ не определено;
2. при $x \geqslant m$ значение $f(x)\,$ есть натуральное число;
3. если $x \geqslant m,$ то $f(x) < x;\,$
4. если $x \geqslant m,$ то $f(x)\,$ и $x$ равноделимы на $m.$

Если требование равноделимости для всех членов последовательности заменить на более строгое требование равноостаточности, то последний член этой последовательности будет являться остатком от деления $A$ на $m,$ а способ (алгоритм) построения такой последовательности будет признаком равноостаточности на $m.$ В силу того, что из равенства остатка при делении на $m$ нулю следует делимость на $m$, любой признак равноостаточности может применяться как признак делимости. Математически признак равноостаточности тоже может быть описан с помощью функции $f(x),\,$ определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

$A_i = f\left(A_{i-1}\right),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots,\,n,$

удовлетворяющей следующим условиям:

1. при $x < m\,$ значение $f(x)\,$ не определено;
2. при $x \geqslant m$ значение $f(x)\,$ есть натуральное число;
3. если $x \geqslant m,$ то $f(x) < x;\,$
4. если $x \geqslant m,$ то $f(x)\,$ и $x$ равноостаточны при делении на $m.$

Примером такой функции, определяющей признак равноостаточности (и, соответственно, признак делимости), может быть функция

$f(x) = x - m,\quad x \geqslant m,$

а последовательность, построенная с её помощью будет иметь вид:

$A,\,A-m,\,A-2m,\,A-3m,\,\dots$

По сути применение признака равноостаточности на базе этой функции эквивалентно делению при помощи вычитания.

Другим примером может служить общеизвестный признак делимости (а также равноостаточности) на 10.

Если последняя цифра в десятичной записи числа равна нулю, то это число делится на 10; кроме того, последняя цифра будет являться отстатком от деления исходного числа на 10.

Математически этот признак равноостаточности может быть сформулирован следующим образом. Пусть надо выяснить остаток от деления на 10 натурального числа $A,$ представленного в виде

$A = 10\,b + a,\quad 0 \leqslant a < 10,\quad b \geqslant 0.$

Тогда остатком от деления $A$ на 10 будет $a$. Функция, описывающая это признак равноостаточности будет выглядеть как

$f(A) = a,\quad A \geqslant 10.$

Легко доказать, что эта функция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Причём последовательность, построенная с её помощью, будет содержать всего один или два члена.

Также легко видеть, что такой признак ориентирован именно на десятичное представление числа $A$ — так, например, если применять его на компьютере, использующем двоичную запись числа, то чтобы выяснить $a$, программе пришлось бы сначала поделить $A$ на 10.

Для построения признаков равноостаточности и делимости чаще всего используется следующие теоремы:

1. При любых целом $q$ и натуральном $m$ целые числа $A$ и $A + m q$ равноостаточны при делении на $m.$
2. При любых целом $q$, натуральном $m$, целые числа $A$ и $p A + m q$ равноделимы на $m,$ если целое $p$ является взаимно простым с $m.$

Пример построения признаков делимости и равноостаточности на 7  

Продемонстрируем применение этих теорем на примере признаков делимости и равноостаточности на $m = 7.$

Пусть дано целое число

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0.$

Тогда из первой теоремы полагая $q = -a_1$ будет следовать, что $A$ будет равноостаточно при делении на 7 с числом

$A' = A - 7 a_1 = \left(10 - 7 \right)a_1 + a_0 = 3\,a_1 + a_0.$

Запишем функцию признака равноостаточности в виде:

$f(A) = \begin{cases} 3\,a_1 + a_0, & A \geqslant A_{min}, \\ A - 7, & 7 \leqslant A < A_{min}. \end{cases}$

И, наконец, остаётся найти такое $A_{min} \leqslant 7,$, при котором для любого $A \leqslant A_{min}$ выполняется условие $3\,a_1 + a_0 < A.$ В данном случае $A_{min} = 10$ и функция приобретает окончательный вид:

$f(A) = \begin{cases} 3\,a_1 + a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 7, & 7 \leqslant A < 10. \end{cases}$

А из второй теоремы полагая $q = 3\,a_1$ и $p = -2,$ взаимно простое с 7, будет следовать, что $A$ будет равноделимы на 7 с числом

$A' = 7 \cdot 3 a_1 - 2 A = \left(21 - 20 \right)a_1 - 2\,a_0 = a_1 - 2\,a_0.$

Учитывая, что числа $A'$ и $\left| A' \right|$ равноделимы на 7, запишем функцию признака делимости в виде:

$f(A) = \begin{cases} \left| a_1 - 2\,a_0 \right|, & A \geqslant A_{min}, \\ A - 7 , & 7 \leqslant A < A_{min}. \end{cases}$

И, наконец, остаётся найти такое $A_{min} \leqslant 7,$, при котором для любого $A \leqslant A_{min}$ выполняется условие $\left| a_1 - 2\,a_0 \right| < A.$ В данном случае $A_{min} = 10$ и функция приобретает окончательный вид:

$f(A) = \begin{cases} \left| a_1 - 2\,a_0 \right|, & A \geqslant 10, \\ A - 7 , & 7 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Признаки делимости в десятичной системе счисления

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Соответствующая признаку функция (см. раздел «Общие принципы построения»):

$A = 10\,a_1 + a_0,\quad 0 \leqslant a_0, < 10,\quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant 10 \\ A - 2 , & 2 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Соответствующая признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 10^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i < 10,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \begin{cases} {\sum_{i=0}^n a_i}, & A \geqslant 10, \\ A - 3 , & 3 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 154, $1 + 5 + 4 = 10$ и $1 + 0 = 1$ равноостаточны при делении на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4. Например, число 12342 не делится на 4, так как $2 \cdot 4 + 2 = 10$ не делится на 4.

Соответствующая признаку функция:

$A = 100\,a_2 + 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad 0 \leqslant a_1 < 10, \quad a_2 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} 2\,a_1 + a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 4 , & 4 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, $8 \cdot 2 + 7 = 23$ и $2 \cdot 2 + 3 = 7$ равноостаточны при делении на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.

Соответствующая признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 5 , & 5 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Соответствующая признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} 4\,a_1 + a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 6 , & 6 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 73, $7 \cdot 4 + 3 = 31,$ $3 \cdot 4 + 1 = 13$ и $1 \cdot 4 + 3 = 7$ равноостаточны при делении на 6.

Признак делимости на 7

Признак 1: число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится $15 \cdot 3 + 4 = 49.$ Другой пример — число 1001 делится на 7, так как на 7 делятся $100 \cdot 3 + 1 = 301,\quad 30 \cdot 3 +1 = 91,\quad 9 \cdot 3 + 1 = 28,\quad 2 \cdot 3 + 8 = 14.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} 3\,a_1 + a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 7 , & 7 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, $8 \cdot 3 + 7 = 31,$ $3 \cdot 3 + 1 = 10$ и $1 \cdot 3 + 0 = 3$ равноостаточны при делении на 7.

Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц, взятая по модулю, делится на 7. Например, 364 делится на 7, так как на 7 делится $\left | 36 - 4 \cdot 2 \right | = 28.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} \left | a_1 - 2\,a_0 \right |, & A \geqslant 10, \\ A - 7 , & 7 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Признак 3. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится $\left | 138 - 689 + 257 \right | = 294.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 1000^i a_i , \quad 0 \leqslant a_i < 1000,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \begin{cases} \left | \sum_{i=0}^n \left ( -1 \right )^i a_i \right |, & A \geqslant 1000, \\ A - 7 , & 7 \leqslant A < 1000. \end{cases}$

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится $9 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 2 = 48.$

Соответствующая признаку функция:

$A = 1000\,a_3 + 100\,a_2 + 10\,a_1 + a_0, \quad 0\leqslant a_0 < 10,\quad 0\leqslant a_1 < 10,\quad 0\leqslant a_2 < 10,\quad a_3 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} 4\,a_2 + 2\,a_1 + a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 8 , & 8 \leqslant A < 10. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 567, $5 \cdot 4 + 6 \cdot 2 + 7 = 39,$ $3 \cdot 2 + 9 = 15$ и $1 \cdot 2 + 5 = 7$ равноостаточны при делении на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, 12345678 делится на 9, то есть на 9 делится $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.$

Соответствующая признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 10^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i < 10,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant 10, \\ 0, & A = 9. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 345, $3 + 4 + 5 = 12$ и $1 + 2 = 3$ равноостаточны при делении на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = a_0, \quad A \geqslant 10.$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 11

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. Например, 9163627 делится на 11, так как $\left | (9 + 6 + 6 + 7) - (1 + 3 + 2) \right |= 22$ делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как $\left | (9 + 0 + 7) - (9 + 7) \right |= 0$ делится на 11.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 10^i a_i \quad 0 \leqslant a_i < 10,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \left | \sum_{i=0}^n \left ( -1 \right )^i a_i \right |, \quad A \geqslant 11.$

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся $10 + 37 + 85 = 132$ и $01 + 32 = 33.$

Соответствующая признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 100^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i < 100,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i , & A \geqslant 100, \\ A - 11 , & 11 \leqslant A < 100. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, $12 + 34 + 56 = 102$ и $1 + 2 = 3$ равноостаточны при делении на 11.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда модуль разности числа единиц и удвоеного числа десятков делится на 12. Например: 1236 делится на 12, так как $\left| 2 \cdot 123 - 6 \right| = 240$ делится на 12.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \left| 2\,a_1 - a_0 \right|, \quad A \geqslant 12.$

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. Например 845 делится 13, так как на 13 делятся $84 + 5 \cdot 4 = 104$ и $10 + 4 \cdot 4 = 26.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_1 + 4\,a_0, & A \geqslant 40, \\ A - 13, & 13 \leqslant A < 40. \end{cases}$

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как $\left| 22 - 5 \cdot 1 \right| = 17$ делится на 17.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} \left| a_1 - 5\,a_0 \right|, & A \geqslant 40, \\ A - 17 , & 17 \leqslant A < 40. \end{cases}$

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся $64 + 2 \cdot 6 = 76$ и $7 + 2 \cdot 6 = 19.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_1 + 2\,a_0 , & A \geqslant 20, \\ 0, & A = 19. \end{cases}$

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованое двумя последними цифрами, делится на 20.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 100\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 100, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant 100, \\ A - 20 , & 20 \leqslant A < 100. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся $288 + 3 \cdot 42 = 414$ и $4 + 3 \cdot 14 = 46.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 100\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 100, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_1 + 3\,a_0, & A \geqslant 300, \\ A - 23 , & 23 \leqslant A < 300. \end{cases}$

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как $39 + 7 \cdot 1 = 46$ делится на 23.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_1 + 7\,a_0, & A \geqslant 70, \\ A - 23 , & 23 \leqslant A < 70. \end{cases}$

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как $3 + 7 \cdot 9 + 3 \cdot 1 = 69$ делится на 23.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 100\,a_2 + 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad 0 \leqslant a_1 < 10, \quad a_2 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_2 + 7\,a_1 + 3\,a_0, & A \geqslant 70, \\ A - 23 , & 23 \leqslant A < 70. \end{cases}$

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованое двумя последними цифрами, делится на 25.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 100\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 100, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant 100, \\ A - 25 , & 25 \leqslant A < 100. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 1000^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i < 1000,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant 1000, \\ A - 27, & 27 \leqslant A < 1000. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимость на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как $26 + 3 \cdot 1 = 29$ делится на 29.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_1 + 3\,a_0, & A \geqslant 30, \\ 0, & A = 29. \end{cases}$

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как $\left| 21 - 3 \cdot 7 \right| = 0$ делится на 31.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \left| a_1 - 3\,a_0 \right|, \quad A \geqslant 31.$

Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 1000^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i < 1000,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant 1000, \\ A - 37, & 37 \leqslant A < 1000. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроеного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится $\left | 3 \cdot 4 + 4 \cdot 8 - 7 \right | = 37.$

Соответствующая признаку функция:

$A = 100 \, a_2 + 10 \, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10,\quad 0 \leqslant a_1 < 10, \quad a_2 \geqslant 0,$

$F(A) = \left | 3 \, a_2 + 4 \, a_1 - 7 \, a_0 \right |, \quad A \geqslant 37.$

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится $\left | 4 - 11 \cdot 8 + 10 \cdot 1 \right | = 74.$

Соответствующая признаку функция:

$A = 100 \, a_2 + 10 \, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10,\quad 0 \leqslant a_1 < 10, \quad a_2 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} \left | a_2 - 11 \, a_1 + 10 \, a_0 \right |, & A \geqslant 100, \\ A - 37, & 37 \leqslant A < 100. \end{cases}$

Признак делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как $\left| 36 - 4 \cdot 9 \right| = 0$ делится на 41.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \left| a_1 - 4\,a_0 \right|, \quad A \geqslant 41.$

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 100\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 100, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant 100, \\ A - 50, & 50 \leqslant A < 100. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся $76 + 6 \cdot 7 = 118$ и $11 + 6 \cdot 8 = 59.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_1 + 6\,a_0 , & A \geqslant 60, \\ 0, & A = 59. \end{cases}$

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся $71 + 8 \cdot 1 = 79$.

Соответствующая этому признаку функция:

$A = 10\,a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < 10, \quad a_1 \geqslant 0,$

$F(A) = \begin{cases} a_1 + 8\,a_0 , & A \geqslant 80, \\ 0, & A = 79. \end{cases}$

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится $1 + 25 + 73 = 99.$

Соответствующая признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 100^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i < 100,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i , & A \geqslant 100, \\ 0, & A = 99. \end{cases}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, $12 + 34 + 56 = 102$ и $1 + 2 = 3$ равноостаточны при делении на 99.

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится $\left | 59 - 5 + 47 \right | = 101.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n 100^i a_i , \quad 0 \leqslant a_i < 100,\quad i = 0, 1, \, \dots \, n,$

$F(A) = \left | \sum_{i=0}^n \left ( -1 \right )^i a_i \right |, \quad A \geqslant 101.$

Общие признаки делимости

Признак делимости на делитель степени основания системы счисления

Если для некоторых натуральных $t$ и $n$ число $t^n$ делится на натуральное $m,$ то любое целое число $A,$ записанное в системе счисления по основанию $t,$ равноостаточно с числом, образованным $n$ младшими его цифрами. Это свойство позволяет построить признак делимости и равноостаточности на делитель степени основания системы счисления.

Соответствующая этому признаку функция:

$A=t^n a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 < t^n, \quad a_1 \geqslant 0, \quad t^n \,\vdots\, m,$

$F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant t^n, \\ A - m, & m \leqslant A < t^n. \end{cases}$

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. д.

Признак делимости на делитель $t^n-1$

Если для некоторых натуральных $t$ и $n$ число $t^n-1$ делится на натуральное $m,$ то любое целое число $A,$ записанное в системе счисления по основанию $t,$ равноделимо с суммой чисел, образованных разбиением на группы по $n$ цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на $m.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n t^{in} a_i, \quad 0 \leqslant a_i < t^n,\quad \quad \left( t^n - 1 \right) \,\vdots\, m,$

$F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant t^n, \\ A - m, & m \leqslant A < t^n. \end{cases}$

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 и т. д.

Признак делимости на делитель $t^n+1$

Если для некоторых натуральных $t$ и $n$ число $t^n+1$ делится на натуральное $m,$ то любое целое число $A,$ записанное в системе счисления по основанию $t,$ равноделимо с модулем знакопеременной суммы чисел, образованных разбиением на группы по $n$ цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на $m.$

Соответствующая этому признаку функция:

$A = \sum_{i=0}^n t^{in} a_i, \quad 0 \leqslant a_i < t^n,\quad \quad \left( t^n + 1 \right) \,\vdots\, m,$

$F(A) = \begin{cases} \left| \sum_{i=0}^n (-1)^i a_i \right|, & A \geqslant t^n, \\ A - m, & m \leqslant A < t^n. \end{cases}$

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 и т. д.

Признаки делимости в других системах счисления

Признаки делимости в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления (числа записаны в той системе, в которой мы работаем в данный момент):

• число делится на 10ⁿ, если оно оканчивается на n нулей.

Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k-1 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на k-1 без остатка. В частности:

• число делится на 10−1, если сумма его цифр делится на 10−1;
• если основание системы счисления нечётное, то число делится на 2, если сумма его цифр делится на 2.

Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k+1 тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места, отличается от суммы цифр на чётных местах на число, делящееся на k+1. В частности:

• число делится на 11, если сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Если основание системы счисления делится на некоторое число k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на k. В частности:

• если основание системы счисления чётное, то число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.

См. также

• Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b. Точнее, он позволяет вывести почти все из выше приведённых признаков.

Литература

• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 39. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6

Примечания

1. ↑ С практической точки зрения «сравнительно быстро» означает «быстрее, чем можно было бы выполнить фактическое деление» теми же самыми средствами. Причём эффективность этого алгоритма в немалой степени зависит от формы представления чисел и имеющихся в распоряжении вычислительных возможностей.
2. ↑ Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1988. — С. 42. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6