ДЕЛИМОСТИ ПРИЗНАК это:

ДЕЛИМОСТИ ПРИЗНАК

на натуральное число d- условие, к-рому удовлетворяет натуральное число Ав том и только в том случае, если оно делится на d. Желательно, чтобы это условие можно было легко проверить и чтобы эта проверка была не сложнее непосредственного деления числа Ана d

Если разность чисел Аи Вделится на d, то число Аделится на dтогда и только тогда, когда число Вделится на d. На этом свойстве основан вывод многих Д. п. Пусть запись числа Ав десятичной системе счисления имеет вид:

тогда

Из этих равенств сразу получаются Д. п. на делители чисел 10, 100, 1000,... В частности, для. того чтобы число А делилось на2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра, т. е. число а 0, делилось на 2; для того чтобы число A делилось на 4 {н а 8), необходимо и достаточно, чтобы число, изображаемое двумя (соответственно тремя) последними цифрами числа А, т. е. число а 0+10а 1, делилось на 4 {соответственно а 0+10а 1+100а 2 делилось на 8). Так как разность (а 0+10а 1 )-(а 0+2а 1). кратна 4, то Д. п. на 4 можно дать и в такой форме: число Аделится на 4 тогда и только тогда, когда число а 0+2а 1 делится на 4. Каждый Д. п. на число dпозволяет сопоставить с числом А, если оно не слишком мало, нек-рое неотрицательное целое число, меньшее А, к-рое делится на dв том и только в том случае, когда само число Аделится на d. Другими словами, каждый Д. п. на число dопределяется нек-рой функцией f, принимающей целые значения и удовлетворяющей условиям: |f(A)|<A для каждого натурального А, начиная с некоторого; f(A) делится на dтогда и только тогда, когда число Аделится на d. Любая целозначная функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, наз. функцией делимости на число d;. множество всех таких функций обозначается W(d). Ясно, что

Поскольку

то

Итак, число Аделится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3 (соответственно на 9). Аналогично,

Следовательно,

Используя представления чисел в системе счисления с основанием 10k, где k=2,3,. . ., можно найти Д. п. на делители чисел вида 10k+1. Так, при к = 2 получаются следующие функции делимости на 11 и 101:

Поскольку 103 +1 = 7-11 -13, получается объединенный Д. п. на числа 7, 11, 13: чтобы узнать, делится ли данное число на какое-нибудь из чисел 7, 11 или 13, достаточно разбить цифры этого числа на грани, начиная справа, по три в каждой, а Затем соединить попеременно знаками+и - числа, образованные этими гранями. Полученное число делится на 7, 11 или 13 тогда и только тогда, когда данное число делится соответственно на 7, 11 или 13. Таким образом,

Если целые числа си d взаимно просты, то число Ас делится на dтогда и только тогда, когда число Аделится на d. Это соображение также часто используется при построении Д. п. Пусть d- какой-нибудь делитель разности 10с - 1, тогда числа си d взаимно просты, и из равенства

следует, что число Аделится на dв том и только в том случае, если число А 1+са 0 делится на d. Напр., при d=19, с=2 разность 10с-1 делится на 19. Поэтому

Чтобы узнать, делится ли число на 19, можно последовательно применять этот признак. Пусть d- какой-нибудь делитель суммы 10c+l. Из равенства

следует, что число Аделится на dтогда и только тогда, когда число А 1 - са 0 делится на d. Так, при с= 11 число 10c+l делится на 37. Поэтому

Соответствующий Д. п. можно сформулировать так: чтобы узнать, делится ли число Ана 37 или нет, достаточно вычеркнуть последнюю цифру числа Аи из числа, образуемого невычеркнутыми цифрами, вычесть произведение 11 на число, изображаемое вычеркнутой цифрой. Число Аделится на 37 в том и только в том случае, если полученное число делится на 37. Подобным образом можно вывести Д. п. и на делители чисел вида

Лит.:[1] Воробьев Н. Н., Признаки делимости, 2 изд., М., 1974.

В. И. Нечаев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДЕЛИМОСТИ ПРИЗНАК" в других словарях:

  • ПРИЗНАК — ПРИЗНАК, признака, муж. Та сторона в предмете или явлении, по которой его можно узнать, определить или описать, которая служит его приметой, знаком. «Основной признак различия между классами их место в общественном производстве, а следовательно,… …   Толковый словарь Ушакова

  • ПРИЗНАК — ПРИЗНАК, а, муж. Показатель, примета, знак, по к рым можно узнать, определить что н. Различительные признаки. Признаки пола. Признаки весны. П. нетерпения. Без признаков жизни (в состоянии смерти). Признаки делимости (спец.). | прил. признаковый …   Толковый словарь Ожегова

  • Признак делимости — Признак делимости  правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной… …   Википедия

  • Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости». Содержание 1 Общий вид 2 Доказательство 3 О …   Википедия

  • Признак — в математике, логике то же, что и достаточное условие. В менее строгих науках слово «признак» употребляется, как описание фактов, позволяющих (согласно существующей теории и т.п.) сделать вывод о наличии интересующего явления. Примеры… …   Википедия

  • Признаки делимости — Признак делимости  алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному[1]. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его …   Википедия

  • Признаки делимости — На 2 делится каждое четное число. На 3 делится число, если сумма цифр его делится на три. На 4 делится число, если число, представляемое двумя последними цифрами, делится на 4. Число, оканчивающееся нулем или 5 ю, делится на пять. Четные числа,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Суверенитет — (Sovereignty) Суверенитет это независимость государства от других стран Суверенитет России и его проблемы, суверенитет Украины, суверенитет республики Беларусь, суверенитет Казахстана, суверенитет Чечни, Проблемы суверенитета стран Европы,… …   Энциклопедия инвестора

  • Химия — Первоначальное значение и происхождение этого слова неизвестно; возможно, что оно просто старое название северного Египта, и тогда наука Chemi значит египетская наука; но так как Chemi, кроме Египта, обозначало еще черный цвет, a μελάνοσις… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • МАТЕРИЯ — одно из наиболее многозначных филос. понятий, которому придается один (или некоторые) из следующих смыслов: 1) то, определяющими характеристиками чего являются протяженность, место в пространстве, масса, вес, движение, инерция, сопротивление,… …   Философская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»