Делимость

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Определение

Если для некоторого целого числа $a$ и целого числа $b$ существует такое целое число $q$, что $bq=a,$ то говорят, что число $a$ делится нацело на $b$ или что $b$ делит $a.$

При этом число $b$ называется делителем числа $a$, делимое $a$ будет кратным числа $b$, а число q называется частным от деления a на b.

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

Обозначения

• $a\,\vdots\, b$ означает, что $a$ делится на $b$
• $b|a$ или b \ a означает, что $b$ делит $a$, или, что то же самое: $b$ — делитель $a$.

Связанные определения

• У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
• У каждого натурального числа, большего 1, есть хотя бы один простой делитель.
• Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
• Вне зависимости от делимости целого числа $a$ на целое число $b\ne 0$, число a всегда можно разделить на b с остатком, то есть представить в виде:

  $a=b\,q + r,$ где $0 \leqslant r < |b|$.

В этом соотношении число $q$ называется неполным частным, а число r — остатком от деления $a$ на $b$. Как частное, так и остаток определяются однозначно.

Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.

• Всякое число, делящее как $a$, так и $b$, называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: +1 и -1. Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
• Два целых числа $a$ и $b$ называются равноделимыми на целое число $m$, если либо и $a$, и $b$ делится на $m$, либо ни $a$, ни $b$ не делится на него.

Свойства

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что $a,\,b,\,c$ — целые числа.

• Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю :

$\quad0\,\vdots\,a.$

• Любое целое число делится на единицу:

$\quad a\,\vdots\,1.$

• На ноль делится только ноль:

$a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0$,

причём частное в этом случае не определено.

• Единица делится только на единицу:

$1\,\vdots\,a\quad\Rightarrow\quad a = \pm 1.$

• Для любого целого числа $a \ne 0$ найдётся такое целое число $b \ne a,$ для которого $b\,\vdots\,a.$

• Если $a\,\vdots\,b$ и $\left|b\right| > \left|a\right|,$ то $a\,=\,0.$ Отсюда же следует, что если $a\,\vdots\,b$ и $a \ne 0$ то $\left|a\right| \geqslant \left|b\right|.$

• Для того чтобы $a\,\vdots\,b$ необходимо и достаточно, чтобы $\left|a\right| \vdots \left|b\right|.$

• Если $a_1\,\vdots\,b,\,a_2\,\vdots\,b,\,\dots,\,a_n\,\vdots\,b,$ то $\left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right)\,\vdots\,b.$

• Свойство делимости является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:
  • рефлексивно, т.е. любое целое число делится на себя же: $\quad a\,\vdots\,a.$
  • транзитивно, т.е. если $a\,\vdots\,b$ и $b\,\vdots\,c,$ то $a\,\vdots\,c.$
  • антисимметрично, т.е. если $a\,\vdots\,b$ и $b\,\vdots\,a,$ то либо $a\,=\,b,$ либо $a\,=\,-b.$

Число делителей

Основная статья: Число делителей

Число положительных делителей натурального числа $n$ обычно обозначается $\tau(n)$, является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

$\sum_{n=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right),$

в которой $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а для $\theta$ Дирихле получил значение $\frac{1}{2}.$ Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат $\theta=\frac{131}{416}$ (получен в 2003 году Хаксли). Однако, наименьшее значение $\theta$, при котором эта формула останется верной, неизвестен (доказано, что он не меньше, чем $\frac{1}{4}$).^[1][2][3]

При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как $\frac{c_1 n}{\sqrt{\ln n}}$, что было обнаружено А. Карацубой.^[4]. По компьютерным оценкам М. Королёва $c_1=\frac{1}{\pi}\prod_p \left(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}} \ln\left(1+\frac{1}{p}\right)\right)\approx 0,7138067$.

Обобщения

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов.

См. также

• Деление с остатком
• Признаки делимости
• Модульная арифметика
• Деление (математика)
• Конгруэнтность (алгебра)
• Сравнение по модулю
• Кольцо (математика)
• Факторизация

Ссылки

• Видео о делимости

Примечания

1. ↑ А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
2. ↑ Аналитическая теория чисел
3. ↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
4. ↑ В. И Арнольд Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

Литература

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6