- ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
- ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
-
(отгреч. orthogonios - прямоугольный) - конечная или счётная система ф-ций , принадлежащих (сепара-бельному) гильбертову пространству L2(a,b )(квадратично интегрируемых ф-ций) и удовлетворяющих условиям
Ф-ция g(x )наз. весом О. с. ф.,* означает комплексное сопряжение. Если все = 1, то О. с. ф. наз. ортонормированной. О. с. ф. наз. полной, если длялюбой ф-ции f(x)L2(a,b )существует ряд Фурье сходящийся к f(х); такой ряд будет единственным, а его коэф. определяютсяф-лами Фурье
Всякая линейно независимая (полная) системаф-ций приводится с помощью процедуры ортогонализации (см. Ортонормированнаясистема векторов )к (полной) нормированной О. с. ф.
Для всякого ряда Фурье, построенного поО. с. ф., выполняется неравенство Бесселяа для полной О. с. ф. справедливо равенствоПарсеваля
Примеры полных О. с. ф.:
1) тригонометрическая система ф-ций наотрезке [ - 1, 1], g(x) =1:
2) системы ортогональных полиномов;
3)система Хаара
а т= 2 п+ k,1k2n, т=2, 3, ... .
О. с. ф. используют в разл. физ. задачах. <Спектральный анализ в теории колебаний, акустике, радиофизике и оптикеоснован на разложении ф-ций в ряды по тригонометрич. системе. В любых задачахна собств. значения операторов также появляются О. с. ф., т. к. для эрмитоваоператора собств. ф-ции, отвечающие разл. собств. значениям, ортогональны между собой. <В квантовой механике, где квадрат модуля волновой ф-ции играет роль плотности распределения вероятности, свойство ортонормируемостиотражает тот факт, что полная вероятность найти частицу в данном состоянииравна 1, если известно, что система находится в состоянии с определённымквантовым числом.Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. <В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;Шилов Г. Е., Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 3, М.,1970; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. сангл., т. 1, М., 1982.
Л. О. Чехов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.