АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЙ КЛАСС это:

АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЙ КЛАСС

класс однотипных моделей, определяемый системой аксиом. Класс Кмоделей формального языка Lназ. аксиоматизируемым (конечно аксиоматизируемым), если существует (конечная) система замкнутых формул языка Lтакая, что Ксодержит те и только те модели, на к-рых определены и истинны все формулы из (см. Алгебраическая система). Класс моделей рекурсивной сигнатуры наз. рекурсивно аксио-матлзируемым, если он может быть задан рекурсивным множеством аксиом.

Многие классы алгебраич. систем, изучаемых в математике, определяются системой аксиом языка 1-й ступени. Напр., классы всех булевых алгебр, всех групп, всех полей, всех решеток являются конечно аксиоматизируемыми. Классы всех групп без кручения, всех полей характеристики 0, всех алгебраически замкнутых полей рекурсивно аксиоматизируемы, хотя не конечно аксиоматизируемы. Теория А. к. выявляет закономерности, общие для всех классов объектов, определяемых с помощью данного языка; она хорошо разработана для языка 1-й ступени, поэтому далее речь идет только о таких классах и формулах.

Две модели наз. элементарно эквивалентными, если всякая формула языка 1-й ступени, истинная в одной из них, истинна и в другой. Модель наз. элементарным расширением модели если всякая формула, определенная и истинная в будет истинной в

Элементарно замкнутый класс Кмоделей наз. полным, если все его модели элементарно эквивалентны между собой. Каждый А. к. моделей является суммой попарно непересекающихся полных классов. Класс наз. категоричным в мощности m, если все его модели мощности m изоморфны. Полный класс моделей счетной сигнатуры, категоричный в несчетной мощности, будет категоричным во всех несчетных мощностях, но может быть некатегоричным в счетной мощности; и в этом случае класс имеет счетное число попарно неизоморфных счетных моделей. Для любого n№2существует полный А. к., имеющий ровно пнеизоморфных счетных моделей.

А. к. моделей Кназ. разрешимым, если существует алгорифм, позволяющий для каждой замкнутой формулы языка Lуказать, истинна или нет она на каждой модели К. Связь полных, категоричных и разрешимых классов дает теорема: если Ккатегоричен в бесконечной мощности и не имеет конечной модели, то он полон. Полный рекурсивно А. к. моделей разрешим.

Обобщениями А. к. являются редукционные классы и проективные классы. Проективные классы определяются аксиомой 2-й ступени, имеющей вид:


где - предикатные переменные, - формула сигнатуры Многие свойства А. к. переносятся на эти классы.

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] его же, в кн.: Тр. 4-го Всесоюзн. матем. съезда т. 1, Л., 1963, с. 169-98. А. Д. Тайманов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЙ КЛАСС" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ — класс алгебраич. систем ( систем), аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич. языка 1 й ступени, к рые наз. квазитождествами, или условными тождествами, и имеют вид: где термы сигнатуры от предметных переменных . В силу теоремы… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50 х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой.… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ — Ч изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом (А.) системы наз. всякое взаимно однозначное отображение множества Ана себя, обладающее свойствами: для всех . из Аи для всех из . Другими словами, А …   Математическая энциклопедия

  • Моделей теория —         раздел математики, возникший при применении методов математической логики в алгебре. Ко 2 й половине 20 в. М. т. оформилась в самостоятельную дисциплину, методы и результаты которой находят применение как в алгебре, так и в др. разделах… …   Большая советская энциклопедия

  • ДОУПОРЯДОЧИВАЕМАЯ ГРУППА — группа, всякий частичный порядок в к рой может быть продолжен до линейного (см. Упорядочиваемая группа). Д. г. наз. также О* группами. Существует следующий критерий доупорядочиваемости группы. Пусть S(g) минимальная инвариантная подполугруппа… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры и, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида где к. л. предикатный символ из или знак равенства, а термы сигнатуры Q от предметных переменных А. с. м. наз. иначе э к,… …   Математическая энциклопедия

  • Универсальная алгебра — Не следует путать с универсальной алгеброй  одним из видов структур, изучаемых данным разделом математики. Универсальная алгебра  раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, отыскивая общие черты между такими… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — алгебраическая система G, являющаяся группой относительно операции умножения, линейно упорядоченным множеством относительно бинарного отношения порядка и удовлетворяющая аксиоме: для любых элементов из следует Множество положительных элементов Л …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Квазимногообразие, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Квазимнообразие в универсальной алгебре — класс… Подробнее  Купить за 1254 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»