АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ это:

АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ

Ч изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом (А.)010119-91.jpg -системы 010119-92.jpg наз. всякое взаимно однозначное отображение 010119-93.jpgмножества Ана себя, обладающее свойствами:

010119-94.jpg

для всех 010119-95.jpg. из Аи для всех 010119-96.jpgиз 010119-97.jpg. Другими словами, А.010119-98.jpg -системы 010119-99.jpgесть изоморфное отображение системы 010119-100.jpgна себя. Пусть 010119-101.jpgЧ множество всех А. системы 010119-102.jpg. Если 010119-103.jpg, то обратное отображение 010119-104.jpgтакже обладает свойствами (1), (2) и поэтому 010119-105.jpgПроизведение 010119-106.jpgА. 010119-107.jpgсистемы 010119-108.jpg, определяемое формулой 010119-109.jpgснова является А. системы 010119-110.jpg . Поскольку умножение отображений ассоциативно, то 010119-111.jpgесть группа, наз. группой всех A системы 010119-112.jpgи обозначаемая через 010119-113.jpg. Подгруппы группы 010119-114.jpgназ. просто группами А. системы 010119-115.jpg.

Пусть 010119-116.jpgЧ А. системы 010119-117.jpg и 010119-118.jpgЧ конгруэнция этой системы. Полагая

010119-119.jpg

получим снова конгруэнцию 010119-120.jpgсистемы 010119-121.jpg.А.010119-122.jpgназ. - автоморфизмом, если 010119-123.jpg для любой конгруэнции 010119-124.jpgсистемы 010119-125.jpg. Множество 010119-126.jpgвсех 010119-127.jpg автоморфизмов системы 010119-128.jpg является нормальным делителем группы 010119-129.jpg, и факторгруппа 010119-130.jpg изоморфна нек-рой группе А. решетки всех конгруэнции системы 010119-131.jpg. В частности, всякий внутренний А. 010119-132.jpg группы, определяемый к.-л. фиксированным элементом аэтой группы, является -автоморфизмом. Однако пример циклич. группы простого норядка показывает, что не всякий -автоморфизм группы Ч внутренний.

Пусть 010119-133.jpgЧ нетривиальное многообразие 010119-134.jpg -систем или к.-л. другой класс 010119-135.jpg -систем, обладающий свободными системами любого (ненулевого) ранга. А. 010119-136.jpgсистемы 010119-137.jpg из класса 010119-138.jpgназ. I-автоморфизмом, если существует терм 010119-139.jpg сигнатуры 010119-140.jpg от неизвестных 010119-141.jpgдля к-рого: 1) в системе 010119-142.jpgсуществуют такие элементы 010119-143.jpgчто для каждого элемента 010119-144.jpgимеет место равенство

010119-145.jpg

2) для любой системы 010119-146.jpgиз класса 010119-147.jpgотображение

010119-148.jpg

является А. этой системы при любом выборе элементов 010119-149.jpg в системе 010119-150.jpg. Множество 010119-151.jpgвсех 010119-152.jpg -автоморфизмов каждой системы 010119-153.jpgиз класса 010119-154.jpgявляется нормальным делителем группы 010119-155.jpg. В классе 010119-156.jpgвсех групп понятие 010119-157.jpg -автоморфизма совпадает с понятиен внутреннего А. группы [2]. Более общее понятие формульного А.010119-158.jpg -системы см. в [3].

Пусть 010119-159.jpgЧ алгебраич. система. Заменяя каждую основную операцию 010119-160.jpgв 010119-161.jpgпредикатом

010119-162.jpg

получим так наз. модель 010119-163.jpg, представляющую систему 010119-164.jpg. Справедливо равенство 010119-165.jpg

Если системы 010119-166.jpgимеют общий носитель A и 010119-167.jpg, то 010119-168.jpg. Если 010119-169.jpg система 010119-170.jpgс конечным числом порождающих финитно аппроксимируема, то группа 010119-171.jpg также финитно аппроксимируема (см. [1], с. 432). Пусть 010119-172.jpgЧ класс 010119-173.jpg -систем и пусть 010119-174.jpgЧ класс всех изоморфных копий групп 010119-175.jpg а 010119-176.jpgЧ класс подгрупп групп из класса 010119-177.jpg. Класс 010119-178.jpg состоит из групп, изоморфно вложимых в группы Aut(A) 010119-179.jpg.

В исследовании групп А. алгебраич. систем выделились следующие две проблемы.

1)   Пусть дан класс 010119-180.jpg 010119-181.jpg -систем. Что можно сказать о классах 010119-182.jpg и010119-183.jpg?

2)   Пусть дан (абстрактный) класс Кгрупп. Существует ли класс 010119-184.jpg -систем 010119-185.jpgданной сигнатуры 010119-186.jpgтакой, что 010119-187.jpg или хотя бы 010119-188.jpg? Доказано, что для любого аксиоматизируемого класса 010119-189.jpgмоделей класс групп 010119-190.jpg универсально аксиоматизируем [1]. Доказано также [1], [4], что если 010119-191.jpgЧ аксиоматизируемый класс моделей, имеющий бесконечные модели, 010119-192.jpg Ч линейно упорядоченное множество и 010119-193.jpgЧ группа А. модели 010119-194.jpg, то существует модель 010119-195.jpg такая, что 010119-196.jpgи для каждого элемента 010119-197.jpgсуществует А. 010119-198.jpg системы 010119-199.jpgтакой, что 010119-200.jpg для всех 010119-201.jpg . Группа Gназ.: 1) универсальной, если 010119-202.jpg для любого аксиоматизируемого класса ,fi моделей, обладающего бесконечными моделями; 010119-185.jpg 2) группой порядковых А. упорядочиваемой группы 010119-203.jpg (см. Линейно упорядоченная группа), если 010119-204.jpg изоморфна нек-рой группе А. группы 010119-205.jpg, сохраняющих фиксированный линейный порядок 010119-206.jpgэтой группы (т. е.010119-207.jpgдля всех 010119-208.jpg). Пусть 010119-209.jpgЧ класс линейно упорядоченных множеств 010119-210.jpg Ч класс универсальных групп, 010119-211.jpgЧ класс правоупорядочиваемых групп, 010119-212.jpgЧ класс групп порядковых А. свободных абелевых групп. Тогда (см. [4] - [6]):

010119-213.jpg

Каждая группа изоморфна группе всех А. нек-рой 010119-214.jpg Ч алгебры. Если 010119-215.jpgЧ класс всех колец, то 010119-216.jpg Ч класс всех групп (см. [1], с. 117, 118). Но если 010119-217.jpgЧ класс всех групп, то 010119-218.jpg напр., циклич. группы 010119-219.jpgпорядков 3, 5, 7, соответственно, не принадлежат классу 010119-220.jpg. Не существует также тоиологич. группы, для к-рой группа всех топологич. А. была бы изоморфна группе 010119-221.jpg (см. [7]).

 

Лит.:[1] Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966; [2] Csakuny В., «Publ. Math. Debrecen», 1965, v. 12, p. 331Ч33; [3] Grant I., «Pacif. J. Math.», 1973, v. 44, №1, p. 107Ч15; [4] Rabin M. O., в кн.: The theory of models, Amst., 1965, p. 274Ч84; [5] Соhn P. M., «Mathematika», 1957, v. 4, № 7, p. 41Ч50; [6] Смирнов Д. М., «Алгебра и логика», 1966, т. 5, № 6, с. 41 Ч 59; [7] Willе R. J., «Quart. J. Math. Oxford», ser. 2, 1967, v. 18, № 69, p. 53 Ч 57. 

Д. М. Смирнов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ" в других словарях:

  • АВТОМОРФИЗМ — изоморфизм (изоморфное отображение) нек рой системы объектов на себя. Совокупность всех А. произвольной алгебраич. системы является группой; изучение этой группы служит важным и удобным орудием изучения свойств самой системы (см. Алгебраической… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50 х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой.… …   Математическая энциклопедия

  • КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с двумя бинарными операциями, к рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и… …   Математическая энциклопедия

  • Гомоморфизм — Не следует путать с гомеоморфизмом. Гомоморфизм (от др. греч. ὁμός  равный, одинаковый и μορφή  вид, форма)  это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и… …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — двумерное алгебраическое многообразие. Вместе с алгебраическими кривыми А. п. представляют собой наиболее изученный класс алгебраич. многообразий. Богатство задач и идей, применяемых для их решения, делает теорию А. п. одним из самых интересных… …   Математическая энциклопедия

  • СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ — см. Фурье преобразование. А СИСТЕМА счетно ветвящаяся система множеств, т. е. семейство подмножеств множества X, занумерованных всеми конечными последовательностями натуральных чисел. А С. . наз. регулярной, если . Последовательность элементов А… …   Математическая энциклопедия

  • ИНВАРИАНТОВ ТЕОРИЯ — в классическом определении алгебраическая теория (иногда называемая также алгебраической И. т.), изучающая алгебраич. выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных… …   Математическая энциклопедия

  • НЁТЕР ТЕОРЕМА — 1) Первая теорема Нётер теорема, устанавливающая связь между янфинитезимальными симметриями функционала вида тде независимые переменные, функции, определенные в нек рой области их частные производные, L нек рая функция (функция Лагранжа), и… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»