АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ это:

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ

алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры и, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида


где - к.-л. предикатный символ из или знак равенства, а - термы сигнатуры Q от предметных переменных А. с. м. наз. иначе э к, вациональными классами, иногда примитивными классами. Многообразие сигнатуры может быть определено также (теорема Биркгофа) как непустой класс -систем, замкнутый относительно подсистем, гомоморфных образов и декартовых произведений.

Пересечение всех многообразий сигнатуры , содержащих данный (не обязательно абстрактный) класс -систем, наз. эквациональным замыканием класса (или многообразием, порожденным классом > и обозначается . В частности, если класс состоит из одной -системы , то его эквацп-ональное замыкание обозначают . Если система конечна, то все конечно порожденные системы в многообразии также конечны [1], [2].

Пусть - нек-рый класс -систем, - класс подсистем систем из - класс гомоморфных образов систем из - класс изоморфных копий декартовых произведений систем пз . Для произвольного непустого класса -систем имеет место соотношение (см. [1], [2]):


Многообразие наз. тривиальным, если в каждой его системе истинно тождество . Всякое нетривиальное многообразие обладает свободными системами любого ранга ти (см. [1], [2]). Пусть - множество тождеств сигнатуры и - класс всех -систем, в к-рых истинны все тождества из . Если для многообразия сигнатуры выполняется равенство , то наз. базисом для . Многообразие наз. конечно базируемы м, если оно имеет конечный базис . Для любой системы базис многообразия наз. также базисом тождеств системы . Если - конечно базируемое многообразие алгебр конечной сигнатуры и все алгебры из имеют дистрибутивные решетки конгруэнции, то каждая конечная алгебра пз имеет конечный базис тождеств (см. [10]). В частности, любая конечная решетка обладает конечным базисом тождеств. Конечный базис тождеств имеет любая конечная группа [3]. Напротив, существует 6-элементная полугруппа [5] и 3-элементный группоид [6], у к-рых нет конечного базиса тождеств.

Многообразия -систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном многообразии сигнатуры , составляют по включению полную решетку с нулем и единицей, к-рая наз. решеткой подмногообразий многообразия . Нулем этой решетки служит многообразие с базисом , а единицей - многообразие . Если многообразие нетривиально, то решетка антиизоморфна решетке всех вполне характеристических конгруэнции свободной в системы счетного ранга [1]. Решетка всех многообразий сигнатуры бесконечна, кроме случая, когда множество конечно и состоит лишь из предикатных символов. Известно точное значение мощности бесконечной решетки (см. [1]). Решетка всех многообразий решеток дистрибутивна и имеет мощность континуума [7], [8]. Решетка всех многообразий групп модулярна, но не дистрибутивна [3], [4]. Решетка многообразий коммутативных полугрупп не модулярна [9].

Атомы решетки всех многообразий сигнатуры наз. минимальными многообразиями сигнатуры . Каждое многообразие, обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное многообразие. Если -система конечна и конечного типа, то многообразие содержит лишь конечное число минимальных подмногообразий [1].

Пусть - подмногообразия фиксированного многообразия -систем. Мальцевским произведением наз. класс тех систем из , к-рые обладают такой конгруэнцией , что , а все смежные классы , являющиеся системами из , принадлежат . Если - многообразие всех групп, а - его подмногообразия, то произведение совпадает с произведением в смысле X. Нейман [3]. Произведение многообразий полугрупп может не быть многообразием. Многообразие -систем наз. поляризованным, если существует такой терм сигнатуры , что в каждой системе из истинны тождества Если - поляризованное многообразие алгебр и в каждой алгебре нз конгруэнции перестановочны, то мальцевское произведение любых подмногообразий есть многообразие. В частности, можно говорить о группоиде подмногообразий любого многообразия групп, колец и т. п. Если - многообразие всех групп или всех алгебр Ли над фиксированным полем Рхарактеристики нуль, то - свободная полугруппа [1].

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Кон П., Универсальная алгебра, дер. с англ., М., 1968; [3] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969; [4] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [5] Реrkins P., "J. of Algebra", 1969, v. 11, № 2, p. 298-314; [6] Мурский В. Л., "Докл. АН СССР", 1965, т. 163, X. 4, с. 815-18; [7] Jоnssоn В., "Math. Scand.", 1967, v. 21. № 1, p. 110-21; [8] Baker K. A., "Pacific J. of Math.", 1969, v. 28, № 1, p. 9-15; [9] Sсhwabauеr R., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1969, v. 20, № 2, p. 503-04; [10] Baker K. A., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1974, v. 190, p. 125-50. Д. М. Смирнов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС — класс однотипных алгебраических систем. Все системы любого данного типа предполагаются записанными в определенной сигнатуре и наз. системами. Класс систем наз. абстрактным, если он содержит вместе с каждой своей системой и все изоморфные ей… …   Математическая энциклопедия

  • ГРУПП МНОГООБРАЗИЕ — класс всех групп, удовлетворяющих фиксированной системе тождественных соотношений где vпробегает нек рое множество Vгрупповых слов, т. е. элементов свободной группы X со свободными образующими x1,..., xn ... . Как и всякое алгебраических систем… …   Математическая энциклопедия

  • КОЛЕЦ МНОГООБРАЗИЕ — класс колец M, удовлетворяющих заданной системе полиномиальных тождеств. К. м. можно определить аксиоматически, как наследственный класс алгебр, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и полных прямых сумм (см. Алгебраических систем… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУГРУПП МНОГООБРАЗИЕ — класс полугрупп, задаваемый системой тождеств (см. Алгебраических систем многообразие). Всякое П. м. будет либо периодическим, т. е. состоит из периодич. полугрупп, либо надкоммутативным, т …   Математическая энциклопедия

  • УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР МНОГООБРАЗИЕ — класс универсальных алгебр, определяемый системой тождеств (ср. Алгебраических систем многообразие). У. а. м. характеризуется как непустой класс алгебр, замкнутый относительно факторалгебр, подалгебр и прямых произведений. Последние два условия… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИМИТИВНЫЙ КЛАСС — алгебраических систем то же, что многообразие (см. Алгебраических систем многообразие) …   Математическая энциклопедия

  • Универсальная алгебра — Не следует путать с универсальной алгеброй  одним из видов структур, изучаемых данным разделом математики. Универсальная алгебра  раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, отыскивая общие черты между такими… …   Википедия

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия

  • СВОБОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — свободный объект в нек ром классе алгебраич. систем. Пусть непустой класс алгебраич. систем (см. Алгебраических систем класс). Система Рназ. свободной в классе , или свободной, если она принадлежит классу и обладает таким множеством Xпорождающих …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50 х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»