АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ это:

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ

- класс алгебраич. систем ( -систем), аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич. языка 1-й ступени, к-рые наз. квазитождествами, или условными тождествами, и имеют вид:


где - термы сигнатуры от предметных переменных . В силу теоремы Мальцева [1], А. с. к. сигнатуры может быть определено также как абстрактный класс -систем, содержащий единичную -систему и замкнутый относительно подсистем и фильтрованных произведений (см. [1], [2]). Аксиоматизируемый класс -систем является квазимногообразием тогда и только тогда, когда он содержит единичную -систему и замкнут относительно подсистем и декартовых произведений. Если - квазимногообразие сигнатуры , то подкласс тех систем , которые изоморфно вложимы в подходящие системы из некоторого квазимногообразия сигнатуры , сам является квазимногообразием. Напр., класс полугрупп, вложимых в группы, есть квазимногообразие; класс ассоциативных колец без делителей нуля, вложимых в ассоциативные тела, также является квазимногообразием.

Квазпмногообразие сигнатуры наз. конечно определимым (или обладающим конечным базисом квазитождеств), если существует такое конечное множество квазитождеств сигнатуры , что состоит из тех и только тех -систем, в к-рых истинны все формулы из множества . Напр., квазимногообразне всех полугрупп с сокращением определяется двумя квазитождествами


и потому конечно определимо. Напротив, квазимногообразне полугрупп, вложпмых в группы, не имеет конечного базиса квазитождеств (см. [1], [2]).

Если - произвольный (не обязательно абстрактный) класс -систем, то наименьшее среди квазимногообразий, содержащих , наз. импликативным замыканием класса . Оно состоит из подсистем изоморфных копий фильтрованных произведений -систем из класса где - единичная система. Если - импликатпвное замыкание класса -систем , то наз. порождающим классом квазимногообразия . Квазимногообразие порождается одной системой тогда и только тогда, когда для любых двух систем существует в классе система содержащая подсистемы, изоморфные системам (см. [1]). Всякое квазимногообразие содержащее неодноэлементную систему, обладает свободными системами любого ранга, к-рые являются одновременно свободными системами в эк-вациональном замыкании класса Квазимногообразия -систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном квазимногообразия сигнатуры , составляют полную решетку относительно теоретико-множественного включения. Атомы решетки всех квазпмногообразий сигнатуры наз. минимальными квазимногообразиями сигнатуры . Минимальное квазимногообразие порождается любой своей неединичной системой. Каждое квазимногообразие , обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное квазнмногообразне. Если - квазимногообразие -систем конечной сигнатуры , то все его подквазимногообразия составляют группоид относительно мальцевского -умножения (см. [3]).

Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; Г2]Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Мальцев А. И., "Снб. матем. ж.", 1967, т. 8, № 2, с. 346-65. Д. М. Смирнов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС — класс однотипных алгебраических систем. Все системы любого данного типа предполагаются записанными в определенной сигнатуре и наз. системами. Класс систем наз. абстрактным, если он содержит вместе с каждой своей системой и все изоморфные ей… …   Математическая энциклопедия

  • КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ — см. Алгебраических систем квазимногообразие …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50 х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой.… …   Математическая энциклопедия

  • СВОБОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — свободный объект в нек ром классе алгебраич. систем. Пусть непустой класс алгебраич. систем (см. Алгебраических систем класс). Система Рназ. свободной в классе , или свободной, если она принадлежит классу и обладает таким множеством Xпорождающих …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУГРУППА — множество с одной бинарной операцией, удовлетворяющей закону ассоциативности. Понятие П. есть обобщение понятия группы:из аксиом группы остается лишь одна ассоциативность; этим объясняется и термин П. . П. называют иногда моноидами, но последний… …   Математическая энциклопедия

  • СВОБОДНАЯ АЛГЕБРА — к л а с с а универсальных алгебр алгебра Fиз класса , обладающая с в о б о д н о й п о р о ж д а ю щ е й с и с т е м о й (или б а з о й) X, т. е. таким множеством порождающих X, что всякое отображение множества Xв любую алгебру Аиз продолжается… …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Квазимногообразие, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Квазимнообразие в универсальной алгебре — класс… Подробнее  Купить за 1254 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»