ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ это:

ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ

частный случай n-той вариации функционала (см. также Гато вариация), обобщающий понятие второй производной функции нескольких переменных; используется в вариационном исчислении. Согласно общему определению В. в. в точке х 0 функционала f(x), определенного в нормированном пространстве X, есть


При равенстве нулю первой вариации неотрицательность В. в. является необходимым, а строгая положительность


при нек-рых допущениях - достаточным условием локального минимума в точке .

В простейшей (векторной) задаче классического вариационного исчисления В. в. функционала


(рассматриваемого на векторных функциях класса с закрепленными краевыми значениями ) имеет вид:


где означает стандартное скалярное произведение в - матрицы с коэффициентами соответственно (производные вычисляются в точках кривой ). Целесообразно рассматривать функционал от h, определяемый формулой (*), не только в пространстве С 1, но и на более широком пространстве абсолютно непрерывных векторных функций с интегрируемым квадратом модуля производной. В этом случае неотрицательность и строгая положительность В. в. формулируются в терминах неотрицательности и строгой положительности матрицы (Лежандра условие).и отсутствия српряженных точек (Якоби условие), что дает условия слабого минимума в вариационном исчислении.

Для вариационного исчисления в целом было проведено исследование В. в. для экстремалей-, не обязательно доставляющих минимум (однако, по-прежнему,- при выполнении условия Лежандра, см. [1]). Важнейший результат - совпадение Морса индекса В. в. и числа точек, сопряженных с , на интервале (см. [2]).

Лит.: [1] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Милнор Дж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965. В. М. Тихомиров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ" в других словарях:

  • Вариация множества — Вариация множества  число, характеризующее мерную протяженность множества в мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация множества замкнутого ограниченного множества   это число компонент этого множества. Для простейшего случая… …   Википедия

  • ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА — первая вариация обобщение понятия дифференциала функции одного переменного, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления; используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий… …   Математическая энциклопедия

  • ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА — число, характеризующее k мерную протяженность множества в n мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация замкнутого ограниченного множества Еесть число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости линейная вариация множества… …   Математическая энциклопедия

  • ГАТО ВАРИАЦИЯ — отображения f(x). линейного пространства Xв линейное топологического пространство Y предел в топологии пространства Y: в предположении, что он существует для всех Именно так ввел первую вариацию Р. Гато (R. Gateaux) в 1913 14. Для функционалов… …   Математическая энциклопедия

  • ТОНЕЛЛИ ПЛОСКАЯ ВАРИАЦИЯ — числовая характеристика функции двух переменных, с помощью к рой определяется класс функций, имеющих ограниченную вариацию в смысле Тонелли. Пусть функция f(x, у )задана на прямоугольнике Предполагается, что функции и измеримы по Лебегу (первая… …   Математическая энциклопедия

  • Вариационное исчисление — Вариационное исчисление  это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает… …   Википедия

  • Крысанова, Екатерина Валерьевна — Екатерина Крысанова Екатерина Валерьевна Крысанова …   Википедия

  • Функциональная производная — В математике и теоретической физике, функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого нибудь вектора, а для первой речь… …   Википедия

  • Шипулина — Шипулина, Екатерина Екатерина Шипулина (род. в 1979 году) балерина, ведущая солистка Большого театра . Содержание 1 Биография 2 Награды 3 Репертуар …   Википедия

  • Шипулина, Екатерина Валентиновна — Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить дату рождения персоны. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»