ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА это:

ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА

первая вариация - обобщение понятия дифференциала функции одного переменного, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления; используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в термин "В. ф.", начиная с работы Ж. Лагранжа [1] (1760). Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления вида:


Если заданную функцию заменить на и подставить в выражение для , то при допущении о непрерывной дифференцируемости интегранта L имеет место следующее равенство:


где при . Функцию часто наз. в а-риацией функции и иногда обозначают через . Выражение , представляющее собой функционал относительно вариаций h, наз. первой вариацией функционала и обозначают через . В применении к функционалу (1) выражение для первой вариации имеет вид:

где


Равенство нулю первой вариации для всех hявляется необходимым условием экстремума функционала Для функционала (1) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления (см. Дюбуа-Реймона лемма).следует уравнение Эйлера:


Путем, аналогичным (2), определяются и вариации более высоких порядков (см., напр., в ст. Вторая вариация функционала).

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано Р. Гато (R. Gateaux) в 1913 (см. Гато вариация). По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа. Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, В. ф. при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по /г) выражения наз. обычно Гато производной. Термины "вариация Гато", "производная Гато", "дифференциал Гато" более употребимы, чем В. ф.; термин "В. ф." сохранился лишь для функционалов классического вариационного исчисления (см. [3]).

Лит.- [1] La grange J., Essai d'une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima des formules mteg-rales mdefimes, Turin, 1762; [2] Gateaux R., "Bull. Soc. Math. France", 1919, T. 47. с. 70-96; [3] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М -Л.. 1950. В. М. Тихомиров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА" в других словарях:

  • Вариация функционала — Вариация функционала, или первая вариация функционала  обобщение понятия дифференциала функции одного переменного, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных… …   Википедия

  • Вариация — Вариацией (от лат. variatio  изменение, перемена) вообще называется разновидность чего либо, небольшое изменение или отклонение. Существуют также более специфические значения этого термина: В музыке: Вариационная форма  музыкальная …   Википедия

  • Вариация (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация. Вариация (от лат. variation  перемена, изменение)  термин, введённый в математику Ж. Л. Лагранжем в 1762 году в работе «Essai d’une nouvelle méthode pour… …   Википедия

  • Вариация функции — У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация. В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из… …   Википедия

  • ВАРИАЦИЯ — термин, введенный в математику Ж. Лагранжем [1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала. Метод В. метод исследования .экстремальной задачи, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в… …   Математическая энциклопедия

  • Вариация Фреше — Вариация Фреше  одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Содержание 1 Определение 2 Применение 3 Литератур …   Википедия

  • ВАРИАЦИЯ — 1) видоизменение второстепенных элементов, частностей чего либо при сохранении того, что является основой.2) Видоизменение музыкальной темы (см. Вариации).3) Технически усложненный, виртуозный танец для солиста или нескольких танцовщиков (обычно… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ВАРИАЦИЯ в математике — малое смещение независимого переменного или функционала …   Энциклопедический словарь

  • вариация — 1) видоизменение второстепенных элементов, частностей чего либо при сохранении того, что является основой. 2) (Матем.) малое смещение независимого переменного или функционала …   Энциклопедический словарь

  • ВАРИАЦИЯ — l) видоизменение второстепенных элементов, частностей чего либо при сохранении того, что является основой. 2) (Матем.) малое смещение независимого переменного или функционала …   Естествознание. Энциклопедический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»