АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО это:

АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО

над полем k - множество А(элементы к-рого наз. точками А. п.), к-рому сопоставлены векторное пространство над (наз. пространством присоединенным к А).и отображение множества в пространство (образ элемента обозначается и наз. вектором с началом аи концом b), обладающее свойствами:

для любой фиксированной точки аотображение является биекцией

для любых точек выполняется соотношение Шаля:


Размерностью А. п. A наз. размерность L. Точка и вектор определяют другую точку, обозначаемую т. е. аддитивная группа векторов пространства Lтранзитивно и свободно действует на А. п., соответствующем .

Примеры. 1) Множество векторов пространства является А. п. , присоединенное к нему пространство совпадает с . В частности, поле скаляров есть А. п. размерности 1. Если , то наз. гс-м ерным координатным А. п. над полем k, точки его определяют вектор

2) Дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве над полем kявляется А. п.

3) Множество решений системы линейных (алгебраических или дифференциальных) уравнений является А. п., присоединенным к к-рому является пространство решений соответствующей однородной системы уравнений.

Подмножество А. п. Аназ. аффинным подпространством (или линейным многообразием) в А, если множество векторов образует подпространство пространства Каждое аффинное подпространство имеет вид - нек-рое подпространство в , а а - произвольный элемент из А'.

Отображение наз. аффинным, если существует линейное отображение присоединенных векторных пространств : такое, что для любых Биективное аффинное отображение наз. аффинным изоморфизмом. Все А. п. одинаковой размерности аффинно изоморфны между собой.

Аффинные изоморфизмы А. п. A в себя образуют группу, наз. аффинной группой А. п. Аи обозначаемую . Аффинная группа А. п. обозначается . Каждый элемент задается формулой


где


- обратимая матрица. Аффинная группа содержит инвариантную подгруппу, наз. подгруппой параллельных переносов,

состоящую из отображений , для к-рых отображение ср: является тождественным. Эта группа изоморфна аддитивной группе векторов пространства . Отображение определяет сюръективный гомоморфизм в общую линейную группу , ядром к-рого является подгруппа параллельных переносов. Если - евклидово пространство, то прообраз ортогональной группы наз. подгруппой евклидовых движе-н и п. Прообраз специальной линейной группы наз. экв и аффинной подгруппой (см. Аффинная унимодулярная группа). Подгруппа состоящая из отображений таких, что для нек-рого и любых наз. центроаффинной подгруппой, она изоморфна общей линейной группе GL пространства L.

В аягебраич. геометрии А. п. также наз. аффинные алгебраические множества, аффинные многообразия или аффинные схемы специального вида. Каждое конечномерное А. п. можно, в свою очередь, снабдить структурой аффинного алгебраич. множества, снабженного топологией Зариского.

Аналогично строится А. п., ассоциированное с векторным пространством над телом k.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962. И. В. Долгачев, А. П. Широков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО" в других словарях:

  • Аффинное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. Аффинное пространство служит обобщением аффинных свойств евклидова пространства. Во многом схоже с векторным пространством, но в отличие от последнего, точки в аффинном пространстве… …   Википедия

  • ПРОСТРАНСТВО НАД АЛГЕБРОЙ — пространство, обладающее дифференциально геометрической структурой, точки к рого могут быть снабжены координатами из нек рой алгебры. В большинстве случаев алгебра предполагается ассоциативной с единицей, иногда альтернативной с единицей (см.… …   Математическая энциклопедия

  • Аффинное подпространство — ― подмножество векторного пространства , являющееся сдвигом какого либо его линейного подпространства , то есть множество вида при некотором . Множество определяет …   Википедия

  • Пространство (физика) — Пространство понятие, используемое (непосредственно или в составе сложных терминов) в естественных языках, а также в таких разделах знания, как философия, математика, физика и т. п. На уровне повседневного восприятия пространство интуитивно… …   Википедия

  • Пространство (значения) — Пространство понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в обыденной речи, а также в различных разделах знаний. Пространство на уровне повседневного восприятия Математика Трёхмерное пространство Аффинное пространство Банахово… …   Википедия

  • Пространство (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. В математике слово «пространство» употребляется в большом наборе сложных терминов. Грубо говоря, пространство есть множество с некоторой дополнительной структурой. В зависимости от… …   Википедия

  • Пространство Минковского (метрическая геометрия) — Пространством Минковского метрическое пространство которое получается из конечномерного нормированного пространства с функцией расстояния . Названа в честь Минковского. Эквивалентно, пространство Минковского можно определить как конечномерное… …   Википедия

  • АФФИННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО — аффинное алгебраическое множество, множество решений нек рой системы алгеб раич. уравнений. Пусть поле и его алгебраич. замыкание. Подмножество Xдекартова произведения наз. аффинным алгебраическим множеством, если его точки являются общими нулями …   Математическая энциклопедия

  • ЛАКУНАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — пространство аффинной связности или риманово пространство нек рой определенной степени подвижности. Л. п. определяется порядком полной движений группы, т. е. наибольшим числом ее параметров для данного пространства. Так, обычное re мерное… …   Математическая энциклопедия

  • ЦЕНТРОАФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО — аффинное пространство, в к ром основным инвариантом является свойство плоскости проходить или не проходить через нек рую точку центр пространства. Л. А. Сидоров …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»