АФФИННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО это:

АФФИННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО

, аффинное алгебраическое -множество,- множество решений нек-рой системы алгеб-раич. уравнений. Пусть поле и - его алгебраич. замыкание. Подмножество Xдекартова произведения наз. аффинным алгебраическим множеством, если его точки являются общими нулями нек-рого семейства S многочленов кольца. Множество всех многочленов из обращающихся в нуль на , образует идеал, к-рый наз. идеалом аффинного алгебраического -множества. Идеал совпадает с радикалом идеала , порожденного семейством S, т. е. с множеством таких многочленов для иек-рого натурального т. А. а. м. Xи Yсовпадают тогда и только тогда, когда А. а. м. Xможет быть задано системой образующих идеала В частности, всякое А. а. м. может быть задано конечным числом многочленов Равенства наз. уравнениями А. а. м. X. А. а. м. пространства образуют решетку относительно операций пересечения и объединения. При этом идеал пересечения совпадает с суммой идеалов , а идеал объединения - с пересечением идеалов . Все множество является А. а. м., к-рое наз. аффинным пространством над полем kи обозначается ему соответствует нулевой идеал. Пустое подмножество множества тоже есть А. а. м. с единичным идеалом. Факторкольцо наз. координатным кольцом А. а. м. X. Оно отождествляется с кольцом k-регулярных функций на X, т. е. с кольцом -значных функций f : для к-рых существует такой многочлен что для всех . А. а. м. Xназ. неприводимым, если оно не является объединением двух собственных аффинных алгебраич. подмножеств. Эквивалентное определение состоит в том, что идеал должен быть простым. Неприводимые А. а. м. вместе с проективными алгебраич. множествами являлись объектами классической алгебраич. геометрии. Они наз. соответственно аффинными алгебраическими многообразиями и проективными алгебраическими многообразиями над полем k(или k-многообразиями). А. а. м. наделяются структурой топологич. пространства. Замкнутыми множествами этой топологии ( Зариского топологии).являются неприводимые аффинные алгебраич. подмножества. А. а. м. неприводимо тогда и только тогда, когда оно неприводимо как топологич. пространство. Дальнейшее развитие понятия А. а. м. приводит к понятиям аффинного многообразия и аффинной схемы.

Лит.:[1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

И. В. Долгачев, В. А. Исковских.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АФФИННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — один из основных объектов изучения алгебраич. геометрии. Современное определение А. м. над полем kкак приведенной схемы конечного типа над полем kпретерпело длительную эволюцию. Классич. определение А. м. ограничивалось аффинными и проективными… …   Математическая энциклопедия

  • АФФИННОЕ МНОГООБРАЗИЕ — аффинное алгебраическое многообразие, обобщение понятия аффинного алгебраического множества. А. м. есть приведенная аффинная схема X конечного типа над полем k, т. е. , где А коммутативная fe алгебра конечного типа без нильпотентных элементов. А …   Математическая энциклопедия

  • Алгебраическое многообразие — Существуют различные типы алгебраических многообразий: аффинные многообразия, проективные многообразия, квазипроективные многообразия. Содержание 1 Аффинные многообразия 2 Проективные и к …   Википедия

  • ЗАРИСКОГО ТОПОЛОГИЯ — на аффинном пространстве топология, множество замкнутых подмножеств к рой совпадает с множеством алгебраич. подмногообразий данного аффинного пространства А n. Если X аффинное алгебраич. многообразие (см. Аффинное алгебраическое множество )в А ,… …   Математическая энциклопедия

  • ИНВАРИАНТОВ ТЕОРИЯ — в классическом определении алгебраическая теория (иногда называемая также алгебраической И. т.), изучающая алгебраич. выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных… …   Математическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — обобщение понятия аналитического многообразия. Локальной моделью (и одновременно важнейшим примером) аналитич. ространства над полным недискретно нормированным полем kявляется аналитическое множество в области n мерного пространства над полем k,… …   Математическая энциклопедия

  • СХЕМА — окольцованное пространство, локально изоморфное аффинной схеме. Подробнее, С. состоит из топологич. пространстна X (базисного пространства схемы) и пучка коммутативных колец с единицей на Х (структурного пучка схемы); при этом должно существовать …   Математическая энциклопедия

  • Алгебраическая геометрия — Алгебраическая геометрия  раздел математики, который объединяет абстрактную алгебру с геометрией. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»