НЁТЕРОВО КОЛЬЦО

НЁТЕРОВО КОЛЬЦО

левое (правое)- кольцо А, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий:

1) А- левый (правый) нётеров модуль над собой;

2) любой левый (правый) идеал в Аимеет конечный базис;

3) любая строго возрастающая цепочка левых (правых) идеалов в Аобрывается на конечном номере.

Примером Н. к. может служить любое кольцо главных идеалов, в к-рых любой идеал имеет одну образующую.

Н. к. названы по имени Э. Нётер (Е. Noether), систематически исследовавшей такие кольца и перенесшей на них ряд результатов, известных ранее только при более жестких ограничениях (напр., теорию примарного разложения Л аскера).

Кольцо нётерово справа не обязано быть нётеровым слева и наоборот. Напр., пусть А- кольцо матриц вида , где - целое рациональное число и - рациональные числа с обычным сложением и умножением. Тогда Анётерово справа, но не нётерово слева, т. к. левый идеал элементов вида не имеет конечного базиса.

Факторкольцо и конечная прямая сумма Н. к. снова нётеровы, но подкольцо Н. к. может не быть нётеровым. Напр., кольцо многочленов над пек-рым полем от бесконечного числа переменных не является нётеровым, хотя оно содержится в своем поле частных, к-рое нётерово.

Если А- нётерово слева кольцо, то кольцо многочленов А[х]также нётерово слева. Аналогичное свойство справедливо и для кольца формальных степенных рядов над Н. к. В частности, кольца многочленов вида или где К- нек-рое поле, а - кольцо целых чисел, а также любые их факторкольца являются нётеровыми. Любое артиново кольцо нётерово. Локализация коммутативного Н. к. Аотносительно нек-рой мультипликативной системы Sснова является Н. к. В коммутативном Н. к. Адля любого идеала не такого, что все элементы вида l+m, где , не являются делителями нуля, выполняется соотношение . Это соотношение означает, что любой такой идеал m определяет на Аотделимую nt-адическую топологию. В коммутативном Н. к. любой идеал представим в виде несократимого пересечения конечного числа примарных идеалов. Хотя такое представление не однозначно, но однозначно определены число идеалов в представлении и множество простых идеалов, ассоциированных с данными примерными идеалами.

Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977.

Л. В. Кузьмин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "НЁТЕРОВО КОЛЬЦО" в других словарях:

  • Нётерово кольцо — (по имени Э.Нётер)  ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей: Всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец  левых идеалов) стабилизируется, то есть… …   Википедия

  • Кольцо (алгебра) — Кольцо это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел. Содержание 1 Определения 2 Связанные определения 3 Простейшие свойства …   Википедия

  • Кольцо (множество) — Кольцо это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел. Содержание 1 Определения 2 Связанные определения 3 Простейшие свойства …   Википедия

  • Кольцо (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо  это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… …   Википедия

  • Кольцо Безу — (названное по имени французского математика Этьена Безу)  это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что колецо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно… …   Википедия

  • РЕГУЛЯРНОЕ КОЛЬЦО — в к о м м у т а т и в н о й а л г е б р е нётерово кольцо А, все локализации к рого регулярны; здесь простой идеал в А. При этом локальное нётерово кольцо Ас максимальным идеалом наз. р е г у л я р н ы м, если порождается пэлементами, где n=dim A …   Математическая энциклопедия

  • КОЭНА - МАКОЛЕЯ КОЛЬЦО — маколеево к о л ь ц о, коммутативное локальное нётерово кольцо А, глубина prof Aк poro равна его размерности dim А. Гомологич. характеризация К. М. к. Асостоит в том, что группы или группы локальных когомологий обращаются в нуль при всех здесь m… …   Математическая энциклопедия

  • ДИСКРЕТНОГО НОРМИРОВАНИЯ КОЛЬЦО — дискретно нормированное кольцо, кольцо с дискретным нормированием, т. е. область целостности с единицей, в к рой существует такой элемент я, что любой ненулевой идеал порождается нек рой степенью элемента я; такой элемент наз. униформизирующим и… …   Математическая энциклопедия

  • АРТИНОВО КОЛЬЦО — артипово справа кольцо, кольцо, удовлетворяющее условию минимальности для правых идеалов, т. е. кольцо, в к ром любое непустое частично упорядоченное по включению множество Мправых идеалов имеет минимальный элемент (см. [1]) такой правый идеал из …   Математическая энциклопедия

  • ДЕДЕКИНДОВО КОЛЬЦО — ассоциативное коммутативное кольцо Rс единицей, не содержащее делителей нуля (т. е. коммутативная область целостности), в к ром каждый собственный идеал представим в виде произведения простых идеалов (идеал Ркольца R наз. простым, если… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»