МНОГОМЕРНЫЙ УЗЕЛ

- изотопический класс вложений сферы в сферу. Более точно, re-мерным узлом коразмерности q наз. пара , состоящая из ориентированной сферы и ее ориентированного локально плоского подмногообразия , гомеоморфного сфере . Два узла наз. эквивалентными, если существует изотопия сферы , переводящая на с сохранением ориентации. В зависимости от того, в какой категории (Diff, PL или Тор) понимаются термины "подмногообразие" и "изотопия" в предыдущих определениях, говорится о гладких, кусочно линейных пли топо-логич. М. у. соответственно. В гладком случае подмногообразие может иметь п нестандартную дифференцируемую структуру, n-мерный узел коразмерности q, изотопный стандартному вложению, наз. тривиальным, или незаузленным, узлом.

Изучение М. у. коразмерности 1 связано с Шёнфлиса гипотезой. Всякий топологич. узел коразмерности 1 тривиален. Это же верно и для кусочно линейных и гладких узлов, если

Кусочно линейные и тоиологич. М. у. коразмерности тривиальны. В гладком случае это не так. Множество изотопич. классов гладких га-мерных узлов коразмерности совпадает при с множеством классов кобордизмов узлов (два М. у. =наз. кобордантными, если существует гладкое -мерное подмногообразие , трансверсально выходящее на , причем и является h-кобордизмом между ). Множество является абелевой группой относительно связного суммирования. В этой группе противоположным к классу М. у. является класс кобордизмов узла , где минус означает обращение ориентации. Имеется естественный гомоморфизм , где - группа n -мерных гомотопич. сфер; этот гомоморфизм сопоставляет узлу дифференцируемую структуру сферы . Ядро этого гомоморфизма, обозначаемое , совпадает с множеством изотопич. классов стандартной сферы в . Если то группа тривиальна. Если , то группы и конечны. В случае, когда , группы и являются конечно порожденными абелевыми группами ранга 1 (см. [1], [2]). Вычислено также множество классов конкордантных гладких вложений в при (см. [3]).

Изучение М. у. коразмерности 2, к-рые в дальнейшем будут наз. просто узлами, проходит почти аналогично во всех трех категориях (Diff, Pl, Top). При всякий топология, узел переводится изотопией в гладкий. Однако существуют топологич. трехмерные узлы в , не эквивалентные и даже не кобордантные гладким узлам (см. [4]).

Множество изотопич. классов re-мерных узлов (каждой категории) образует абелеву полугруппу относительно связного суммирования. Известно, что при n= 1 в этой полугруппе всякий элемент представляется в виде конечной суммы простых, т. е. нетривиальным образом неразложимых элементов, и такое разложение единственно n -мерный узел тривиален тогда и только тогда, когда при всех Дана (см. [6]) алгебраич. классификация узлов К, у к-рых при всех и число пнечетно (узлы типа L):при n>=5 множество изотопич. классов таких узлов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством S-эквивалентных классов Зейферта матриц. Узлы типа Lважны с точки зрения приложений в алгебраич. геометрии, т. к. среди них находятся все узлы, получаемые с помощью следующей конструкции (см. [15]). Пусть - комплексный многочлен ненулевой степени, имеющий О в качестве изолированной особой точки и f(0)=0. Пересечение кгиперповерхности с малой сферой с центром в нуле является (q-2)-связным -мерным многообразием. Многообразие кгомеоморфно сфере тогда и только тогда, когда , где - полином Александера. Вэтом случае возникает узел . Такие узлы наз. алгебраическими, все они являются узлами типа L.

Внешностью гладкого узла наз. дополнение Xоткрытой трубчатой окрестности в . При для всякого га-мерного узла Ксуществует такой узел , что всякий узел, внешность к-ро-го диффеоморфна внешности узла К, эквивалентен либо К, либо . Если - внешности двух гладких n -мерных узлов,то следующие утверждения равносильны (см. [7]): 1) и диффеоморфны, 2) пары гомотопически эквивалентны. Эти результаты сводят проблему классификации узлов к гомотопич. классификации пар и к решению вопроса о том, определяет ли внешность тип узла, т. е. верно ли равенство Известно, что это равенство справедливо для узлов типа L(см. [6]), для узлов, получаемых конструкцией Артина и конструкцией сверхзакручивания (см. [8]). Однако найдены двумерные узлы в , для к-рых . (см. [9]).

Изучение гомотопич. типа внешности X усложняется из-за ее неодносвязности. Если G- группа узла (т. е. ), то , , вес группы G(т. е. минимальное число элементов, не содержащихся ни в одном собственном нормальном делителе) равен 1. При эти свойства полностью описывают класс групп n -мерных узлов (см. [10]). Группы одномерных и двумерных узлов обладают рядом дополнительных свойств (см. Узлов теория, Двумерный, узел).

Поскольку внешность Xобладает единственным бесконечным циклическим накрытием , к-рое наз. бесконечным циклическим накрытием узла. Гомологии являются -модулями. Их Александера инвариан ты, являются инвариантами узла. Об алгебраич. свойствах модулей см. [10]-[13].

Благодаря тому обстоятельству, что на бесконечном циклическом накрытии группа действует без неподвижных точек, (n+2)-мерное некомпактное многообразие обладает рядом гомология, свойств компактных (га+1)-мерных многообразий. В частности, на гомоло-гиях многообразия с коэффициентами в поле Fсуществует невырожденное спаривание

по свойствам напоминающее спаривание, определяемое пересечения индексом в (n+1)-мерных компактных многообразиях. Имеется также спаривание

аналогичное зацепления коэффициентам в (n+1) - мерных многообразиях (см. [13]), где

Эти гомологич. спаривания порождают инварианты гомотопич. типа пары . Для получения алгебраич. инвариантов используются также конечнолистные циклические разветвленные накрытия (см. [14]).

Задача классификации узлов коразмерности 2 с точностью до кобордизма - отношения эквивалентности более грубого, чем изотопич. тип,- полностью решена при (см. Узлов кобордизм).

Лит.:[11 Haefliger A., "Ann. Math.", 1962, v. 75, p. 452-66; [2] eго же, там же, 1966, v. 83, р. 402-36; [3] Levine J., там же, 1965, v. 82, р. 15-51; [4] Сарреll S. Shaneson J., "Topology", 1973, v. 12, p. 33-40; [5] Соси нский А. Б., "Матем. сб.", 1970, т. 81, № 1, с. 145-58-[6] Levine J., "Comm. math, helv.", 1970, v. 45, p. 185-98; [7] Lashof R., Shaneson J., "Bull. Amer. Math. Soc", 1969, v. 75, p. 171-75; |8] Cappell S., в кн.: Topology of Manifolds, Chi., 1971, p. 358-83; [9] Сappell S., Shaneson J., "Ann. Math.", 1976, v. 103, p. 349-53; [10] Кеrvaire M., "Bull. soc. math. France", 1965, t. 93, p. 225-71; [111 Levine J., "Ann. Math.", 1966, v. 84, p. 537-54; [12] его ж е, в кн.: Knots, groups and 3-manifolds, Princeton, 1975, p. 25- 34; [13] Фарбер М. Ш., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1977, т. 41, с. 794-828; [14] Виро О. Я., там же, 1973, т. 37, с. 1241-58; [15] Милнор Дж., Особые точки комплексных гиперповерхностей, пер. <сангл., М.,1971. М. Ш. Фарбер.