ЛЕФШЕЦА ФОРМУЛА

- формула, выражающая число неподвижных точек эндоморфизма топологич. пространства через следы соответствующих эндоморфизмов в пространствах когомологий.

Эта формула была установлена впервые С. Лефшецом для конечномерных ориентируемых топологич. многообразий [1] и для конечных клеточных комплексов (см. [2, 3]). Этим работам С. Лефшеца предшествовала работа Л. Брауэра (L. Brouwer, 1911) о неподвижной точке непрерывного отображения га-мерной сферы в себя. Некоторый новый вариант доказательства Л. ф. для конечных клеточных комплексов был дан X. Хоп-фом (H. Hopf, см. [9]).

Пусть X - связное ориентируемое га-мерное компактное топологич. многообразие или га-мерный конечный клеточный комплекс, - непрерывное отображение, - Лефшеца число отображения f. Предполагается, что все неподвижные точки отображения изолированы. Для каждой неподвижной точки пусть i(х) - ее индекс Кронекера (локальная степень отображения f в окрестности точки х). Тогда Л. ф. для Xи fимеет вид

Имеется [8] обобщение Л. ф. на случай произвольных непрерывных отображений компактных евклидовых окрестностных ретрактов.

Пусть X - дифференцируемое компактное ориентированное многообразие, - дифференцируемое отображение. Неподвижная точка для отображения f наз. невырожденной, если она изолирована и - дифференциал отображения f в точке х,a E - тождественное преобразование. Для невырожденной точки ее индекс i(х).совпадает с числом sgn det (df_x-E). В этом случае Л. ф. (1) показывает, что число Лефшеца равно разности между числом неподвижных точек с индексом +1 и числом неподвижных точек с индексом -1, в частности не превосходит общего числа неподвижных точек. Левую часть формулы (1) в этом случае можно определить так же, как индекс пересечения на где Г _f - график отображения fи - диагональ.

Следствием Л. ф. является формула Хопфа, утверждающая, что эйлерова характеристика равна сумме индексов нулей глобального -векторного поля vна X(предполагается, что все нули векторного поля vизолированы) (см. [5]).

Существует вариант Л. ф. для компактных комплексных многообразий и когомологии Дольбо (см. [5]). Пусть X - компактное комплексное многообразие размерности ти - голоморфное отображение с невырожденными неподвижными точками. Пусть - когомологии Дольбо многообразия X типа ( р, q).и (X).- индуцированный отображением f эндоморфизм. Число

наз. голоморфным числом Лефшеца. Тогда имеет место следующая голоморфная

Л. ф.

где df_x - голоморфный дифференциал, отображения f в точке х.

В абстрактной алгебраич. геометрии Л. ф. послужила отправной точкой для поиска Вейля когомологии в связи с гипотезами Вейля о дзета-функциях алгебраич. многообразий, определенных над конечными полями. Аналог Л. ф. в абстрактной алгебраич. геометрии устанавливается для l-адических когомологии с компактными носителями и с коэффициентами в конструктивных -пучках, где - поле l-адических чисел, l- простое число, отличное от характеристики поля k. Эту формулу часто называют формулой следа.

Пусть X - алгебраич. многообразие (или схема) над конечным полем k, - морфизм Фробениуса и - пучок на Xи - когомологии с компактными носителями многообразия (схемы) Xскоэффициентами в пучке Тогда морфизм Fопределяет эндоморфизм когомологии

Если - расширение степени пполя k, - многообразие (схема) и пучок, полученные из Xи посредством расширения поля скаляров, то соответствующий морфизм Фробениуса совпадает с n-й степенью Fⁿ морфизма F.

Пусть теперь X - отделимая схема конечного типа над конечным полем kиз qэлементов, - конструктивный -пучок на X, l - простое число, отличное от характеристики поля k, - множество неподвижных геометрич. точек морфизма Fⁿ или, что то же самое, множество X(k_n).геометрич. точек схемы Xсо значениями в поле k_n. Тогда для любого целого имеет место следующая Л. ф. (или формула следа) (см. [6], [7]):

где -слой пучка в точке х. В случае постоянного пучка имеем и левая часть формулы (2) представляет собой не что иное, как число геометрич. точек схемы Xсо значениями в поле k_n. В частности, при n=1 - это просто число точек схемы Xсо значениями в основном поле k. Если схема Xявляется собственной над k(напр., если X - полное алгебраич. многообразие над k), то и правая часть формулы (2) является альтернированной суммой следов эндоморфизма Фробениуса в обычных когомо-логиях схемы X.

Имеются (см. [7]) обобщения формулы (2).

Лит,:[1] L e t s с h e t rS., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1926, v. 28, № 1, p. 1-49; [2] e г о же, "Proc. Nat. Acad. Sci.

USA", 1927, v. 13, p. 614-22; [3] его же, "Ann. Math." (2), 1937, v. 38, № 4, p. 819-22; [4] Kleiman S. L., в кн.: Dix exposes sur la cohomologie des schemes, Amst.- P., 1968, p. 359- 386; [5] G r i f f i t h s P., H а r r i s J., Principles of algebraic geometry, N. Y., 1978; [6] Cohomologie etale. SGA 4¹/₂, B.- Hdlb.- N. Y., 1977; [7] Cohomologie l-adique et fonctions L,SGA 5, В.- Hdlb.- N. Y., 1977; [8] Д о л ь д А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976; [9] 3ейферт Г., Трельфалль В., Топология, пер. с нем., М.- Л., 1938. В. А. Псковских.