АЛЕКСАНДЕРА ДВОЙСТВЕННОСТЬ это:

АЛЕКСАНДЕРА ДВОЙСТВЕННОСТЬ

связь между гомологич. свойствами взаимно дополнительных подмножеств топологич. пространства, к-рая позволяет гомологич. свойства множества определять нек-рымн свойствами его дополнения.

Первые теоремы такого рода были сформулированы в терминах не алгебраической, а теоретико-множественной топологии. В 1892 К. Жор-даном (С. Jordan) было доказано, что простая замкнутая непрерывная кривая разбивает плоскость на две области и является их общей границей (теорема Жордана). Эта теорема была (1911) независимо обобщена А. Лебегом (Н. Lebesgue) и Л. Э. Я. Брауэром (L. rЕ. J. Brouwer) на случай n-мерного многообразия, лежащего в n+1-мерном сферическом (или евклидовом) пространстве; при этом была установлена связь между указанным фактом и свойством r-мерного многообразия (в n-мерном пространстве) быть зацепленным с ( п - r-1)-мерным многообразием (А. Лебег). В 1913 Л. Э. Я. Брауэр показал, что число областей, на к-рые плоское замкнутое множество разбивает плоскость, зависит лишь от топологич. свойств этого множества. В 1922 Дж. Александер [1] впервые выразил двойственность этого рода в чисто гомологич. понятиях. Теорема Александера (см. [2], [3], [4]) утверждает, что г-мерное число Бетти mod 2 (конечного) полиэдра Ф, лежащего в n-мерном сферич. пространстве, равно ( п - r -1)-мерному числу Бетти mod 2 его дополнения. П. С. Александровым (1927) эта теорема была обобщена на случай любого замкнутого множества Ф. Двойственность, сформулированная в этой теореме, наз. двойственностью Александера.

Следующим важным этапом в развитии этого рода двойственности была теорема Понтрягина (1934) (см. [2], [3], [4]), утверждающая, что г-мерная гомологии группа замкнутого множества А, расположенного в n-мерном сферич. многообразии над компактной группой Xкоэффициентов, и мерная группа гомологии дополнения над (дискретной) группой У коэффициентов, двойственной с Xв смысле теории характеров, двойственны в том же смысле, причем скалярное произведение определяется как коэффициент зацепления циклов, произвольно выбранных из перемножаемых классов гомологии. Эта теорема обычно наз. теоремой Александера- Понтрягина; двойственность, формулируемая в ней, наз. двойственностью Понтрягина, или двойственностью Александера- Понтрягина (см. Понтрягина двойственность). Ряд последующих обобщений завершился теоремой П. С. Александрова (см. [5], [7]), формулировка к-рой отличается от теоремы Понтрягпна тем, что Аможет быть произвольным подмножеством из , группа Xможет быть как компактной, так и дискретной, а под понимаются группы гомологии Александрова - Чеха (см. Александрова - Чеха гомологии и когомологии), причем одна - с компактными носителями, а другая - спектро-вого типа. Формы А. д. для любых множеств получаются заменой последних групп двойственными им группами когомологии той же размерности над двойственной группой коэффициентов.

В дальнейших обобщениях сферич. многообразия заменяются более общими многообразиями ( гомологическими многообразиями, к-рые ацикличны в определенных размерностях), группы Александрова - Чеха - группами Ситникова - Стинрода и др., группы коэффициентов - модулями, пучками и т. п.

Лит.:Ll] Alexander J. W., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1915, v. 16, p. 148-54; [2] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; [3] Понтрягин Л. С., "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, в. 2, с. 45-55; 14] Лефшец С., Алгебраическая топология, пер. о англ., М., 1949; L5J Александров П. С., "Матем. сб.", 1947, т. 21, в. 3, с. 161-232; 16] его же, Топологические теоремы двойственности, ч. 1-2, "Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова", М., 1955, т. 48; 1959, т. 54; [7] Чогошвили Г. С., в кп.: Тр. 4 Всес. матем. съезда, т. 2, М., 1964, с. 57-62. Г. С. Чогошвили.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛЕКСАНДЕРА ДВОЙСТВЕННОСТЬ" в других словарях:

  • ДВОЙСТВЕННОСТЬ — 1) Д. в алгебраической геометрии двойственность между различными пространствами когомологий на алгебраич. многообразиях. Когомологий когерентных пучков. Пусть X неособое проективное алгебраич. многообразие размерности nнад алгебраически замкнутым …   Математическая энциклопедия

  • КОЛМОГОРОВА ДВОЙСТВЕННОСТЬ — двойственность в алгебраич. топологии, состоящая в изоморфизме г мерной группы гомологии Н r(A, G) замкнутого множества Ахаусдорфова локально компактного пространства Rс нулевыми r и (r+1) мерными группами гомологии (r+1) мерной группе гомологии… …   Математическая энциклопедия

  • СТИНРОДА ДВОЙСТВЕННОСТЬ — изоморфизм р мeрных гомологии компактного подмножества Асферы Sn ( п р 1) мерным когомологиям дополнения (гомологии и когомологии в размерности нуль приведенные). Рассмотрена Н. Стинродом [1]. В случае когда А открытый или замкнутый подполиэдр,… …   Математическая энциклопедия

  • S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ — стационарная двойственность, Спеньера двойственность, двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории для S… …   Математическая энциклопедия

  • Александер, Джеймс — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Александер. Джеймс Уэдделл Александер англ. James Waddell Alexander Дата рождения: 19 сентября 1888(1888 09 19) …   Википедия

  • Александер, Джеймс Уэдделл — В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Александер. Джеймс Уэдделл Александер англ. James Waddell Alexander Дата рождения: 19 сентября 1888(1888 …   Википедия

  • Джеймс Александер — Джеймс Уэдделл Александер англ. James Waddell Alexander Дата рождения: 19 сентября, 1888 Место рождения: Си Брайт, Нью Джерси, США Дата смерти: 23 сентября 1971 Место смерти: Принстон, Нью Джерси …   Википедия

  • Джеймс Уэдделл Александер — англ. James Waddell Alexander Дата рождения: 19 сентября, 1888 Место рождения: Си Брайт, Нью Джерси, США Дата смерти: 23 сентября 1971 Место смерти: Принстон, Нью Джерси …   Википедия

  • ГОМОЛОГИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — обобщенное многообразие, локально компактное топологич. пространство, локальная гомологич. структура к рого аналогична локальной структуре обычных топологнч. многообразий, в том числе многообразий с краем. Более точно, гомологическим n… …   Математическая энциклопедия

  • ПУЧКОВ ТЕОРИЯ — специальный математич. аппарат, обеспечивающий единый подход для установления связи между локальными и глобальными свойствами топологич. пространств (в частности, геометрич. объектов) и являющийся мощным средством исследования многих задач в… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»