КОЛМОГОРОВА ДВОЙСТВЕННОСТЬ

- двойственность в алгебраич. топологии, состоящая в изоморфизме

г-мерной группы гомологии Н _r(A, G) замкнутого множества Ахаусдорфова локально компактного пространства Rс нулевыми r- и (r+1)-мерными группами гомологии (r+1)-мерной группе гомологии с абелевой группой коэффициентов G дополнения и в изоморфизме

соответствующих групп когомологии при H^r(R,G)=0 и H^r+1(R, G)=0.

Группы гомологии и когомологии, участвующие в этих изоморфизмах, определяются так. За r-мерную цепь принимается любая кососимметрическая, аддитивная относительно каждого аргумента функция c_r(e₀, e₁, . .., е _r )от r+1 подмножеств пространства R, имеющих компактные замыкания, принимающая значения из G и равная нулю, когда пересечение пусто. Граничный оператор допределяется по формуле

где U- любое открытое множество из Л с компактным замыканием, содержащее Циклами считаются цепи с _r с нулевыми границами, а циклами, гомологичными нулю,- цепи с _r, являющиеся границами, с _r=дс _r+1. Группа Z_r(R, G )всех r-мерных циклов по обычному сложению функций содержит группу B_r(R, G )всех r-мерных границ в качестве подгруппы, факторгруппа Z_r(R, G)/B_r(R, G )и есть группа H_r(R, G). Группу Gкоэффициентов А. Н. Колмогоров всегда рассматривал как компактную группу и компактно топологизировал и группу гомологии. Однако на построение группы гомологии топология группы коэффициентов не оказывает влияния, и гомологии можно брать над любой абелевой группой. Для определения коцепей рассматриваются такие кососимметрические функции f(x₀, х ₁,..., х _r). от r+1 точек х ₀, x₁,..., х _r пространства Rсо значениями в G, что для каждой f^r существует конечная система S_fr попарно непересекающихся подмножеств из Rс компактными замыканиями, удовлетворяющая условиям: f(x₀,..., x_r)=f(x'_o, ..., x'_r), если x_i и х'_i принадлежат одному и тому же элементу системы S_fr для любого i; f^r(x₀, . .., х _r) = 0, если хотя бы одно х; не содержится ни в каком элементе из S_fr. Кограничный оператор d определяется по формуле

Функции и считаются эквивалентными, если каждая точка х из Rимеет такую окрестность U, что f₁^r(x₀, ..., x_r)=f₂^r(x₀,..., х _r), как только все х _i принадлежат U, и за коцепь принимается класс эквивалентных функций. Кограница коцепи определяется как класс кограниц входящих в эту коцепь функций. Коцикл есть коцепь с ^r с нулевой кограницей, d с ^r=0, а когомологичным нулю считается коцикл, являющийся кограницей, с ^r=d с ^r-1. Группа B^r(R, G )всех r-мерных кограниц есть подгруппа группы Z^r(R, G )всех r-мерных коциклов; факторгруппа Z^r(R, G)/Br(R, G )и есть группа H^r(R, G).

Определенные так группы гомологии и когомологии, часто называемые функциональными, были введены А. Н. Колмогоровым [1]. Тогда же, кроме выше указанных изоморфизмов двойственностей, им были доказаны двойственность между гомологиями и когомологиями H_r(R, G*)|H^r(R, G )в смысле теории характеров Понтрягина, когда компактная группа G* двойственна группе G, и двойственности Пуанкаре

где R - открытое n-мерное многообразие, H_r(R,G*) и H^r(R, G) - функциональные группы над компактной (соответственно, дискретной) группой G* (соответственно G),и - группы когомологии (соответственно гомологии) бесконечных коцепей (соответственно конечных цепей) произвольного клеточного разбиения многообразия R.

В случае, когда Rесть га-мерное евклидово пространство, из указанных двойственностей получается теорема двойственности Понтрягина (см. Александера двойственность). Частным случаем этих двойственностей является и теорема двойственности Стинрода (см. Двойственность в алгебраич. топологии), поскольку К. д. для гомологии справедлива и для произвольной группы коэффициентов [2].

Функциональные группы гомологии изоморфны: группам Вьеториса (см. Вьеториса гомологии )в случае компактных метрич. пространств и компактной группы коэффициентов [1]; спектральным группам гомологии Александрова относительно особых подкомплексов [3] в случае локально компактных пространств и компактной группы коэффициентов [4] и, следовательно: группам гомологии Александрова - Чеха одноточечной компактификации данного локально компактного пространства [5]; группам гомологии Стинрода [8] в случае компактных метрич. пространств и произвольной группы коэффициентов [7]. Таким образом, гомологии Колмогорова, введенные на четыре года раньше гомологии Стинрода, представляют собой и их обобщение на более широкий класс пространств.

Функциональные гомологии и когомологии удовлетворяют всем Стинрода- Эйленберга аксиомам на категории локально компактных пространств с допустимыми отображениями (т. е. когда прообраз каждого компактного множества компактен) [6] и, кроме того, двум аксиомам Милнора на категории компактных метрич. пространств [7].

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "С. г. Acad. sci.", 1936, t 202 р 1144-4V 1325 - 27; 1558 - 60; 1641-43; [2] Мдзинаришвили Л. Д., "Докл. АН СССР", 1974, т. 216, № 3, с. 502-04; [3] Александров П. С, "Уч. зап. МГУ", 1940 т. 45, с. 1-60; [4] Чогошвили Г. С, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1951, т. 15, ЛЬ 5, с. 421 - 38; [5] Стинрод Н., Эйленберг С, Основания алгебраической топологии, М. 1958; [6] Балавадзе М. Б., "Тр. Тбил. матем. ин-та", 1972 т. 41 с. 5-40; [7] Мдзинаришвили Л. Д., "Тр. Тбил. матем. ин-та", 1972, т. 41, с. 143-63; [8] Steenrod N "Ann Math.", 1940 v. 41, p. 831 - 51.

Г. С. Чогошвили.