S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ это:

S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ

стационарная двойственность, Спеньера двойственность, - двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории - для S-гомотопич. и S-когомотопнч. групп или стационарных групп гомотошш и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-к атегорией, наз. категория, объектами к-рой являются топологич. пространства X, а морфизмами - классы {f} S-гомотопных отображений f р -кратной надстройки SpX1 в SPX2, причем f и g: считаются 5-гомотопными, если существует такое что надстройки гомотопны в обычном смысле.

Множество х, X2} таких классов, наз. S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так яаз. колейного сложения, см. [1], [2], [4), [5]). Группа г, Х 2 )есть предел прямого спектра множеств [SkX1, SkX2]обычных гомотогшч. классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших кспектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S:1, Х 2}{SX1, SX2}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением Полиэдром, п- двойственным к полиэдру Xсферы Sn, наз. произвольный полиэдр D п Х в Sn, являющийся S-це формационным ретрактом дополнения т. е. если морфизм, соответствующий вложению есть S-эквивалентность. Полиэдр DnX существует для каждого X, и можно рассматривать Xкак

Для любых полиэдров Х 1, Х 2 и любых n-двойственных им полиэдров DnX1 и DnX2 существует единственное отображение

удовлетворяющее следующим условиям:

а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. е. Dn есть такой гомоморфизм,что если то если то если 0 - элемент из {X1 , Х 2} или из {DnX2, DnX1}, то

б) Оно удовлетворяет соотношениям где SDnXi и DnXi рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам X;и, соответственно, SXi, i=i,2; это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки.

в) Оно удовлетворяет равенству где и - гомоморфизмы указанных групп гомологии и когомологий, индуцированные S-отображениями и Dnq, a есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества его S-деформационным ретрактом DnXi.

Построение Dn опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции.

S- гомотопической группой е р (Х)пространства Xназ. группа {Sp, X}, а S-к огомотопической группой S Р (Х)пространства X- группа {X, SP}. Как и в обычной теории гомотошш, определяются гомоморфизмы

Рассмотрение сфер Sp и Sn-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму

и к коммутативной диаграмме

Таким образом, изоморфизм Dn связывает S-гомотопич. и S-когомотопич. группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера Dan связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов.

Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. Dn переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. групп S-когомотопическими, групп гомологии - группами когомологии, отображения jp- отображениями jn-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. группой - наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотогши для определения n-когомотопич. группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n-2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n-1)-косвязным, n>1), что нарушает полную общность двойственности.

Теория обобщается в различных направлениях: напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопический тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8].

Лит.:[1] Спаньер Э. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 17-25; [2] Spanier E. H., Whitehead J. Н. С, "Mathematical 1955, v. 2, №3, p. 56-80; [3] их же, "Ann. Math.", 1958, v. 67, №2, p. 203 - 38; [4] Barratt M. G., "Proc. Lond. Math. Soc", 1955, v. 5, p. 71 - 106, 285 - 329; [5] Сп. <чньер Э. Г., Уайтхед Дж. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 27 - 56; [6] Экман Б., Хилтон П., там же, 1960, т. 4, № 3, с. 3-27; [7] Спаньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [8] Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974.

Г. С. Чогошвили.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ" в других словарях:

  • ДВОЙСТВЕННОСТЬ — 1) Д. в алгебраической геометрии двойственность между различными пространствами когомологий на алгебраич. многообразиях. Когомологий когерентных пучков. Пусть X неособое проективное алгебраич. многообразие размерности nнад алгебраически замкнутым …   Математическая энциклопедия

  • ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПСИХИЧЕСКАЯ — ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПСИХИЧЕСКАЯ, явление разделения личности на два, часто противопоставляемых друг другу комплекса, наблюдается при самых различных пси хопатологич. состояниях. Уже в пределах нормы, при попытках самосозерцания, при размышлениях над… …   Большая медицинская энциклопедия

  • ПОНТРЯГИНА ДВОЙСТВЕННОСТЬ — 1) П. д. двойственность между абелевыми топологич. группами и их характеров группами. Теорема двойственности утверждает, что если G локально компактная абелева группа и X(G) ее группа характеров, то естественный гомоморфизм , переводящий в… …   Математическая энциклопедия

  • ЛЕФШЕЦА ДВОЙСТВЕННОСТЬ — Лефшеца Пуанкаре двойственность, утверждение о двойственности между гомологиями и когомологиями, установленное С. Лефшецем (S. Lefschetz). Более точно, если (X, А) такая пара пространств, что есть n мерное топологич. многообразие, то для любой… …   Математическая энциклопедия

  • ОБОБЩЕННЫЕ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИИ — экстраординарные теории когомологий, класс специальных функторов из категории пар пространств в категорию градуированных абелевых групп. О. т. к. есть пара функтор из категории Рпар топологич. пространств в категорию GA градуированных абелевых… …   Математическая энциклопедия

  • Пушкин, Александр Сергеевич — — родился 26 мая 1799 г. в Москве, на Немецкой улице в доме Скворцова; умер 29 января 1837 г. в Петербурге. Со стороны отца Пушкин принадлежал к старинному дворянскому роду, происходившему, по сказанию родословных, от выходца "из… …   Большая биографическая энциклопедия

  • Маркс — Биография. Учение Маркса. Философский материализм. Диалектика. Материалистическое понимание истории. Классовая борьба. Экономическое учение Маркса. Стоимость. Прибавочная стоимость. Социализм. Тактика классовой борьбы пролетариата …   Литературная энциклопедия

  • ЕВАНГЕЛИЯ — (греч. euaggљlion; евр. бесорá  благая, или радостная, весть), первые четыре книги новозав. канона, посвященные земной жизни, учению, смерти и Воскресению Иисуса Христа, книги, к–рые являются средоточием и вершиной НЗ и всей Библии в целом. Хотя …   Библиологический словарь

  • ВСЕЛЕНСКИЙ V СОБОР — V Вселенский Собор. Роспись собора в честь Рождества Пресв. Богородицы Ферапонтова мон ря. Дионисий. 1502 г. V Вселенский Собор. Роспись собора в честь Рождества Пресв. Богородицы Ферапонтова мон ря. Дионисий. 1502 г.[II Константинопольский].… …   Православная энциклопедия

  • ПУЧКОВ ТЕОРИЯ — специальный математич. аппарат, обеспечивающий единый подход для установления связи между локальными и глобальными свойствами топологич. пространств (в частности, геометрич. объектов) и являющийся мощным средством исследования многих задач в… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»