Тензорное исчисление

        математическая теория, изучающая величины особого рода — тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления (См. Векторное исчисление) и теории матриц (См. Матрица). Т. и. широко применяется в дифференциальной геометрии, теории римановых пространств, теории относительности, механике, электродинамике и других областях науки.

         Для описания многих физических и геометрических фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами — равенствами, связывающими эти числа или системы чисел. Некоторые из величин, называемые скалярными (масса, температура и т. д.), описываются одним числом, причём значение этих величин не изменяется при переходе от одной системы координат к другой (мы рассматриваем здесь физические явления с точки зрения классической физики). Другие величины — векторные (сила, скорость и т. д.), описываются тремя числами (компонентами вектора), причём при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются по определённому закону. Наряду со скалярными и векторными величинами встречаются во многих вопросах физики и геометрии величины более сложного строения. Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования этих чисел при переходе от одной системы координат к другой более сложен, чем для векторов (точные определения будут даны ниже). При введении координатной системы, помимо чисел, описывающих сам объект или физическое явление, появляются числа, описывающие его связь с выбранной системой координат. Рассмотрим, например, совокупность чисел J_ij (i, j = 1, 2, 3), где J_ij — осевой Момент инерции твёрдого тела относительно оси X_i, a J_ij, (при i ≠j) — центробежные моменты инерции, взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой осевой момент инерции J_ii меняется (так как меняется положение оси x_i относительно тела), а потому J_ii не может рассматриваться как физическая величина, имеющая независимый от выбора системы координат смысл. Это находит своё выражение, например, в том, что знание J_ii в одной системе координат не позволяет найти J_ii в другой системе координат. В то же время совокупность всех чисел J_ij имеет смысл, независимый от выбора координатной системы. Знание всех чисел J_ij в одной системе прямоугольных координат позволяет найти их в любой другой системе прямоугольных координат по формуле

         Т. о., одной из основных задач Т. и. является нахождение аналитических формулировок законов механики, геометрии, физики, не зависящих от выбора координатной системы.

         1. Тензоры в прямоугольных координатах. Величины, которые в каждой системе прямоугольных координат задаются в 3-мерном пространстве 3^k числами (i_r = 1, 2, 3) и при замене системы координат (x₁, x₂, x₃) системой (x’₁, x’₂, x’₃) заменяются числами

        

        , (1)

        где k называется валентностью (рангом) тензора, числа

         Примеры тензоров: если координаты вектора а обозначить a_i (i = 1, 2, 3), то числа а, образуют тензор первой валентности. Любым двум векторам а = {a_i} и b ={b_i} соответствует тензор с компонентами p_ij = a_i. b_j. Этот тензор называется диадой. Если a (x₁, x₂, x₃) — некоторое Векторное поле, то каждой точке этого поля соответствует тензор с компонентами а = {ai} по вектору r {x₁, x₂, хз} (обозначается также через J_ij образует тензор второй валентности (тензор инерции).

         2. Тензоры второй валентности. В приложениях Т. и. к механике, кроме тензоров первой валентности (векторов), чаще всего встречаются тензоры второй валентности.

         Если p_ij = p_ji, то тензор называется симметрическим, а если p_ij = –p_ji, то — кососимметрическим (антисимметрическим). Симметрический тензор имеет шесть существенных компонент, а кососимметрический — три: 1, ω₂, ω₃ преобразуются как компоненты псевдовектора (см. Осевой вектор). Вообще псевдовекторы (угловую скорость, векторное произведение двух векторов и др.) можно рассматривать как кососимметрические тензоры второй валентности. Далее, если в любой системе координат принять Кронекера символа δ_ij. Тензоры инерции, напряжения, единичный тензор — симметрические. Всякий тензор единственным образом разлагается на сумму симметрических и кососимметрических тензоров. Если а (r) — вектор смещения частиц упругого тела при малой деформации, то симметрическая часть Вихрь векторного поля).

        Тензор а (r) потенциально (см. Потенциальное поле). Разложение тензора da на чистую деформацию и на поворот тела как целого.

         Инвариантами тензора называются функции от его компонент, не зависящие от выбора координатной системы. Примером инварианта является след тензора p₁₁ + p₂₂ + p₃₃. Так, для тензора инерции он равен удвоенному полярному моменту инерции относительно начала координат, для тензора Дивергенция) векторного поля a (r) и т. д

         3. Тензоры в аффинных координатах. Для многих задач приходится рассматривать тензорные величины в аффинных координатах (косоугольных координатах с различными единицами длины по разным осям). Положение одной аффинной системы координат относительно другой может быть описано двумя различными системами чисел: числами Aⁱ_j равными компонентам векторов eⁱ_j. нового базиса относительно векторов e_i старого базиса, и числами B_i^j, равными компонентам векторов e_i относительно базиса eⁱ_j. В соответствии с этим бывают тензоры различного вида: в законы преобразования одних из них входят числа Aⁱ_j, а в законы преобразования других — числа B_i^j. Встречаются и тензоры, в законы преобразования которых входят как числа Aⁱ_j, так и числа B_i^j. Тензоры первого вида называются ковариантными, второго — контравариантными и третьего — смешанными тензорами. Более точно, (r + х)-валентным смешанным тензором s раз ковариантным и r раз контравариантным. называют совокупность 3^r+s чисел

        

        При рассмотрении прямоугольных координат не приходится различать ковариантные (нижние) и контравариантные (верхние) индексы тензора, так как для двух таких систем координат

         Коэффициенты уравнения поверхности второго порядка x₁, x₂, x₃, преобразующихся как координаты вектора x = xⁱe_i, образует 1 раз контравариантный тензор, а система чисел, преобразующихся как скалярное произведение x_i = xe_i, образует 1 раз ковариантный тензор. Относительно преобразования аффинных координат символ Кронекера g_ij = e_ie_j, где e_i — векторы базиса, образует тензор, называемый ковариантным метрическим тензором. Длина любого вектора пространства х = xiei равна х и у равно g_ijxⁱy^j. Совокупность величин g^ij таких, что

         Дословно, так же как и в трёхмерном пространстве, определяются тензоры в n-мерном пространстве. Важным примером тензоров в n-мерном пространстве являются совокупности компонент Поливекторов.

         Порядок следования индексов существенным образом входит в определение тензора, то есть при перестановке индексов компоненты тензора, вообще говоря, меняются. Тензор называется симметрическим по данной совокупности индексов (одного и того же уровня), если при перестановке любых двух индексов этой совокупности он не меняется. Если же при такой перестановке компоненты тензора меняют знак, то он называется кососимметрическим по этой совокупности индексов. В более общем смысле условием симметрии тензора называют любую инвариантную линейную зависимость между его компонентами.

         4. Действия над тензорами. Существуют четыре основные операции над тензорами: сложение тензоров, умножение тензоров, свёртывание тензоров по двум или более индексам и перестановка индексов тензора. Так как тензор задаётся своими компонентами в различных системах координат, то действия над тензорами задаются формулами, выражающими в каждой системе координат компоненты результата действия через компоненты тензоров, над которыми производятся действия. При этом формулы должны быть такими, чтобы в результате выполнения действия получился тензор.

         а) Сложение тензоров. Суммой двух тензоров t^abcde и q^ab_cde одинакового строения (то есть имеющих одинаковое число верхних и нижних индексов) называется тензор с компонентами

        

         б) Умножение тензоров. Произведением двух тензоров t^a_bc и , то умножение его на другой тензор t^a_bc сводится к умножению всех компонент тензора t^a_bc на число λ.

         в) Свёртывание тензора. Результатом свёртывания тензора t^abcde по индексам а и d (верхнему и нижнему) называется тензор p_i^j является результатом свёртывания её по индексам i и j, бискалярное произведение p_i^j и

         г) Перестановка индексов. Пусть компоненты тензора q^ab_cde выражаются через компоненты тензора t^abcde формулой q^ab_cde получился из t^abcde перестановкой индексов с и е. При этом переставляться могут только индексы одного и того же уровня.

         5. Тензорный анализ. В приложениях приходится обычно рассматривать не отдельные тензоры, а тензорные поля. Например, при изучении упругой деформации рассматривают тензоры деформации и напряжений во всех точках тела. Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то тензорное поле Т (Р) можно рассматривать как совокупность функций Р (х¹, x², x³) области и преобразующихся при переходе от одной системы прямоугольных координат к другой по формулам вида (1). В этом случае частные производные компонент тензора по координатам

         В тензорном анализе рассматриваются не только прямоугольные или аффинные, но и произвольные (достаточное число раз дифференцируемые) криволинейные координаты xⁱ. В окрестности каждой точки эти координаты можно заменить аффинными координатами. В качестве базисных векторов этих аффинных координат надо взять частные производные r в точке Р.

         Тогда скалярные произведения e_ie_j, будут равны значениям компонент метрического тензора g_ij в точке Р, с помощью которого длина бесконечно малого вектора x’,..., x_n) к другой (y’,..., yⁿ) локальная система координат в каждой точке меняется, причём базисные векторы преобразуются по формулам Aⁱ_j будут различными в разных точках и равны B_i^j состоит из выражений заданных в каждой точке области для системы криволинейных координат и преобразующихся при переходе от одной системы криволинейных координат к другой по формулам (2), где положено xⁱ уже не образуют тензорного поля. Это объясняется тем, что при переходе от одной точки к другой изменяются не только компоненты тензора, но и локальная координатная система, к которой этот тензор относится. Поэтому при определении изменения тензора надо учитывать не только изменение компонент тензора при переходе от точки Р (xi) к бесконечно близкой ей точке Q (x’ + dxⁱ), но и изменение локальной координатной системы. Иными словами, компоненты приращения тензора нельзя считать равными приращениям его компонент. Например, для векторных полей u (P), где u имеет контравариантные компоненты u; приращение векторного поля равно (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) выражению Здесь через Кристоффеля символ), связанные с метрическим тензором

        

        .

        Отметим, что сами символы Кристоффеля не являются тензорами. Слагаемое

         Вектор u (Р), а совокупность величин

        

        .

        — ковариантной (или абсолютной) производной этого поля. Аналогично этому ковариантная производная ковариантного векторного поля равна

        

        Для тензорного поля

        

        .

        Ковариантная производная тензорного поля образует тензорное поле, имеющее на одну ковариантную валентность больше, чем исходное поле. В частном случае, когда криволинейные координаты являются прямоугольными, ковариантное дифференцирование тензорных полей переходит в обычное, то есть в операцию образования поля

         Правила ковариантного дифференцирования (для суммы и произведения тензоров) совпадают с правилами обычного дифференцирования. Ковариантное дифференцирование перестановочно со свёртыванием. Имеет место также теорема о перестановке порядка ковариантного дифференцирования, то есть

         6. Историческая справка. Возникновение Т. и. было подготовлено в 19 в. развитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм — с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную форму Т. и. придал итальянский математик Г. Риччи-Курбастро, поэтому Т. и. иногда называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915—16) общей теории относительности А. Эйнштейна, математическая часть которой целиком основана на Т. и.

         Лит.: Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Мак-Коннел А.-Д., Введение в тензорный анализ, пер. с англ., М., 1963; Сокольников И. О., Тензорный анализ, пер. с англ., М., 1971.

         По материалам одноимённой статьи из 2-го изд. БСЭ.