Линейный функционал

        обобщение понятия линейной формы (См. Линейная форма) на линейные пространства (См. Линейное пространство). Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

         1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),

         где х и у — любые элементы из Е, α и β — числа;

         2) f(x) непрерывна.

         Непрерывность f равносильна требованию, чтобы Е; выражение f и обозначают

         В пространстве С [a, b] функций α(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой

        

         f₂[((t)] = ((t₀), a ( t₀ ( b.

         В гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство) Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l — любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.

         Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.

         Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство E̅, если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство E̅ называют сопряжённым к E̅; это пространство играет большую роль при изучении Е.

         С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если

        

         для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.