ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ

линейная форма, на векторном пространстве Lнад полем k- отображение такое, что

.для всех Понятие Л. ф., будучи важным специальным случаем понятия линейного оператора, является одним из основных в линейной алгебре и играет значительную роль в анализе.

На множестве Л. ф. на Lопределены операции сложения и умножения на скаляр по формулам

Они задают в структуру векторного" пространства над k.

Ядром Л. ф. наз. подпространство

Если _ (т. е. ), то Кеr f - гиперплоскость в L. Л. ф. с совпадающими ядрами пропорциональны.

Если - базис в L, то для

Сопоставление } есть изоморфизм на Следствие: Lизоморфно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. При переходе к новому базису в Lэлементы преобразуются по тем же формулам, что и векторы базиса.

Оператор определенный равенством инъективен. Он является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Lконечномерно. Этот изоморфизм, в отличие от изоморфизма между Lи естествен.

Л. ф. на локально выпуклых пространствах, в частности нормированных пространствах,- важный объект изучения функционального анализа. Каждый непрерывный (как отображение топологич. пространств) Л. ф. f на локально выпуклом пространстве Еограничен, т. е.

для всех ограниченных Если Е - нормированное пространство, то верно и обратное; при этом оба свойства эквивалентны конечности числа

Непрерывные Л. ф. на локально выпуклом пространстве Еобразуют подпространство к-рое наз. сопряженным к Д. В E* рассматриваются различные топологии, в том числе слабая и сильная, к-рые отвечают соответственно за поточечную и за равномерную сходимость на ограниченных множествах. Если Е - нормированное пространство, то Е* - банахово пространство относительно нормы а соответствующая топология совпадает с сильной. Единичный шар рассматриваемый в слабой топологии, компактен.

Важные приложения к анализу имеет теорема Хана - Банаха, одна из формулировок к-рой такова: если - преднорма на векторном пространстве Е, f₀ - Л. ф., заданный на подпространстве Е ₀ в Еи такой, что для всех то f₀ может быть распространен на все Ес сохранением линейности и указанной оценки. Следствие: любой непрерывный Л. ф., заданный на подпростр-анстве E₀ в локально выпуклом пространстве Е, может быть продолжен до непрерывного Л. ф. на Е, а если Е - нормированное пространство, то и с сохранением нормы. Отсюда для каждого найдется

Пусть Е - нормированное пространство, а Е* и затем ( Е*)*взяты с соответствующими нормами. Тогда оператор

- изометрическое вложение. Если при этом вложении Есовпадает с (E*)*, то такое нормированное пространство, необходимо полное, наз. рефлексивным. Напр., рефлексивны тогда и только тогда, когда р>1. Аналогичное понятие рефлексивности есть и для общих локально выпуклых пространств.

Для многих конкретных локально выпуклых пространств описаны все Л. ф.: напр., сопряженное к гильбертову пространству Несть для фиксированного Сопряженное к С[ а, b]есть

для фиксированной функции ограниченной вариации }.

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981. А. Я. Хелемский.