Линейное пространство это:

Линейное пространство
        тоже, что Векторное пространство. В функциональном анализе (См. Функциональный анализ) рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были Гильбертово пространство и пространство С [а, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, b]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента х — неотрицательное число х = 0 и обладающее свойствами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.
         В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени Pk-i(t), чтобы
         имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой
         имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой
         ‖x=
         эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен Pk-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой
        
         и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы ‖x и ‖x2 существенно различны, так как, например, последовательность функций
        
         по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции
        
         Следует отметить, что хотя все функции xn(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы ‖x2. При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности {xn} его элементов, удовлетворяющих условию
        
         существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.
        
         Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой ‖x2, получают гильбертово пространство L2p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.
         Обобщением понятия B-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством (См. Топологическое пространство), 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.
        
         Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Линейное пространство" в других словарях:

  • линейное пространство — векторное пространство — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы векторное пространство EN linear space …   Справочник технического переводчика

  • ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО — то же, что векторное пространство …   Большой Энциклопедический словарь

  • Линейное пространство — Линейное пространство, или векторное пространство  основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства …   Википедия

  • линейное пространство — то же, что векторное пространство. * * * ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, то же, что векторное пространство (см. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО) …   Энциклопедический словарь

  • линейное пространство — tiesinė erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear space vok. linearer Raum, m rus. линейное пространство, n pranc. espace linéaire, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО — то же, что секторное пространство …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО — то же, что векторное пространство …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Линейное пространство — то же, что векторное пространство; в более общем случае математическое понятие, обобщающее понятие n мерного векторного пространства на бесконечномерный случай. Примером линейных пространств являются так называемые банаховые пространства и… …   Начала современного естествознания

  • линейное пространство ключей — Пространство ключей, где каждый ключ одинаково силен [Криптографический словарь Карэна Исагулиева www.racal.ru ] [http://www.morepc.ru/dict/] Тематики информационные технологии в целом EN linear key space …   Справочник технического переводчика

  • Топологическое линейное пространство — или топологическое векторное пространство линейное пространство наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны. Термин используется в основном в функциональном анализе. Определение Множество E… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Линейное пространство» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»