Модулярная группа

Модулярная группа — группа $\Gamma$ всех преобразований Мёбиуса вида

$z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},$

где $a,\;b,\;c,\;d$ — целые числа, причём $ad-bc=1$.

Модулярная группа отождествляется с факторгруппой $PSL(2,\Z)=SL(2,\;\Z)/\{I,\;-I\}$. Здесь $SL(2,\;\Z)$ — группа матриц

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},$

где $a,\;b,\;c,\;d$ — целые числа, $ad-bc=1$.

Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости $H=\{z:\mathrm{Im}\,z>0\}$ (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими

$S:z\mapsto -1/z,$

$T:z\mapsto z+1$

и соотношениями $S^2=(ST)^3=1$, то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой $S$, и циклической группы порядка 3, порождённой $ST$.

Для произвольного преобразования $g(z) = \frac{az+b}{cz+d}$ из модулярной группы справедливо равенство:

$\mathrm{Im}\,g(z)=\frac{\mathrm{Im}\,z}{|cz+d|^2}.\qquad\qquad(1)$

Поскольку мнимая часть $z$ ненулевая, а числа $c$ и $d$ — целые, не равные нулю одновременно, то величина $|cz+d|^2$ отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума.

Фундаментальная область (каноническая) модулярной группы — это замкнутая область

$D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm{Re}\,z|\leqslant 1/2\}.$

Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из $D$. Из этого следует, что для того, чтобы две точки $z,\;g(z)$ принадлежали $D$, их мнимая часть должна быть одинакова: $|cz+d|^2=1$. Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки:

1. $g(z)=z,\;z$ — любая точка;
2. $g(z)=z-1,\;\mathrm{Re}\,z=1/2;$
3. $g(z)=z+1,\;\mathrm{Re}\,z=-1/2;$
4. $g(z)=-1/z,\;|z|=1.$

В частности, все точки области $D$ имеют тривиальный стабилизатор, кроме трёх:

1. $\mathrm{St}(i)=\{1,\;S\};$
2. $\mathrm{St}(e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^2\};$
3. $\mathrm{St}(-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^2\}.$

Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки $D$ отображаются инъективно, тогда как граничные — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой $\mathrm{Re}\,z=0$.

Чтобы показать, что всякая точка из $H$ конгруэтна некоторой точке из $D$, рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями $S$ и $T$, точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит $D$ (иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования $S$ можно было бы строго увеличить мнимую часть).

Легко показать также, что преобразования $S$ и $T$ порождают всю модулярную группу. Пусть $g$ — произвольное модулярное преобразование и $z$ — внутренняя точка $D$. Как описано выше, найдём преобразование $g'$ переводящее $g(z)$ в область $D$. Точки $z$ и $g'g(z)$ лежат в $D$, причём $z$ — внутренняя, следовательно, $g'g(z)=z$. Тогда преобразование $g'g$ лежит в стабилизаторе точки $z$, который тривиален. Следовательно, $g=(g')^{-1}$ лежит в группе, порождённой преобразованиями $S$ и $T$.

Интерес к модулярной группе связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью которых является факторпространство $H/\,\Gamma$, отождествляемое с фундаментальной областью $G$ модулярной группы. Фундаментальная область $G$ имеет конечную площадь, то есть модулярная группа есть фуксова группа первого рода.