- Кубический закон взаимности
-
Характер кубического вычета – теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.
Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.
Содержание
Определение
Пусть
-
кубический корень из единицы.
Рассмотрим D=Z[w] – кольцо целых алгебраических чисел, то есть чисел вида
,
где a и b – целые числа.
Пусть π - простое в кольце D с нормой Nπ. Определим характер кубического вычета следующим образом:
- , если α делится на π.
- иначе.
Заметим, что при π, не делящем α , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: .
Кубический закон взаимности
Назовём π примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть π и θ - примарные, тогда
Другие свойства характера кубического вычета
- тогда и только тогда, когда сравнение разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда α - кубический вычет
- Мультипликативность:
- Периодичность: если , то
- Если π = − 1 + 3(m + nω) - примарное, то
Список литературы
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.
- Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag: 2000. — ISBN 3-540-66957-4
Характеры Квадратичные характеры Символ Лежандра • Символ Якоби • Символ Кронекера — Якоби Характеры степенных вычетов Характер кубического вычета • Характер биквадратичного вычета • Символ степенного вычета просмотр • обсуждение
Wikimedia Foundation. 2010.