Коши задача

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие (откуда терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0).

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?
2. Если решение существует, то какова область его существования?
3. Является ли решение единственным?
4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x₀,y₀) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y = f(x). Точка (x₀,y₀) задаёт начальные условия.

Различные постановки задачи Коши

• ОДУ первого порядка, разрешённая относительно старшей производной

  
  

$\left\{\begin{array}{lcl}y' &=& f(x,y) \\ y(x_0) &=& y_0\end{array}\right.$

• Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно старших производных

  
  

$\left\{\begin{array}{lcl}y'_1 &=& f_1(x,y) \\ & \ldots & \\ y'_n &=& f_n(x,y) \\ y_1(x_0) &=& y_{01} \\ & \ldots & \\ y_n(x_0) &=& y_{0n} \end{array}\right.$

• ОДУ n-го порядка, разрешённая относительно старшей производной

  
  

$\left\{\begin{array}{lcl}y^n &=& f(x,y,\ldots y^{n-1}) \\ y(x_0) &=& y_{01} \\ & \ldots & \\ y^{n-1}(x_0) &=& y_{0n} \end{array}\right\} \iff \left\{\begin{array}{lcl}y'_1 &=& y_2 \quad (=y') \\ & \ldots & \\ y'_{n-1} &=& y_n \quad (=y^{n-1}) \\ y'_n &=& f_n(x,y_1,\ldots,y_n) \\ y_1(x_0) &=& y_{01} \quad (=y(x_0)) \\ & \ldots & \\ y_n(x_0) &=& y_{0n} \quad (=y^{n-1}(x_0)) \end{array}\right.$

Свойства задачи Коши

$\left\{\begin{array}{ccc}y' &=& f(x,y) \\ y(x_0) &=& y_0\end{array}\right.\quad x_0\in (a,b),\; D=\{(x,y)\}\quad (1)$

• Теорема (о единственности решения).
  

Пусть $f(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}\in C(\bar{D})$, пускай также $y=\varphi_1(x),\;y=\varphi_2(x)$ — решение задачи Коши (1), определённые на отрезке $[x_1,x_2]\subset(a,b)$, причём $x_0\in[x_1,x_2]$, тогда $\varphi_1(x)\equiv\varphi_2(x)$ на всём [x₁,x₂].

Теорема носит глобальный характер: решения совпадают везде, где существуют.

• Теорема (о существовании).
  

Пусть $f(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}\in C(\bar{D})$, пускай также $x_0\in(a,b)$, тогда $\exist h>0$, зависящее от x₀,y₀,D,f такое, что $\exist y=\varphi(x)$ — решение задачи Коши (1), определённое на отрезке [x₀ − h,x₀ + h].

Теорема носит локальный характер: решение существует лишь в небольшой окрестности x₀.

См. также

• Обыкновенное дифференциальное уравнение
• Особое решение
• Краевая задача
• Метод Эйлера
• Метод Рунге — Кутта

Литература

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X