Корреляционный интеграл

В теории хаоса, корреляционным интегралом называется осреднённая вероятность того, что состояния системы в два различных момента времени кажутся близкими:

$C(\varepsilon) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N^2} \sum_{i,j=1}^N \Theta(\varepsilon - || \vec{x}(i) - \vec{x}(j)||), \quad \vec{x}(i) \in \Bbb{R}^m,$

где $N$ есть объём выборки $\vec{x}(i)$, $\varepsilon$ — пороговое расстояние, $|| \cdot ||$ — норма (напр., евклидова норма) и $\Theta( \cdot )$ — функция Хевисайда. Если известны лишь значения временного ряда, фазовое пространство может быть восстановлено с использованием вложения по времени задержки (см. теорему Такенса):

$\vec{x}(i) = (u(i), u(i+\tau), \ldots, u(i+\tau(m-1)),$

Здесь $u(i)$ — временной ряд, $m$ — размерность вложения, а $\tau$ — временная задержка.

Корреляционный интеграл используется для вычисления корреляционной размерности.

Оценка корреляционного интеграла даётся корреляционной суммой:

$C(\varepsilon) = \frac{1}{N^2} \sum_{i,j=1}^N \Theta(\varepsilon - || \vec{x}(i) - \vec{x}(j)||), \quad \vec{x}(i) \in \Bbb{R}^m.$

См. также

• Теория хаоса

Примечания

• P. Grassberger and I. Procaccia (1983). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica 9D: 189–208. (LINK)

Для улучшения этой статьи желательно?: Связать? Воспользоваться подсказкой и установить ссылки из других статей Википедии. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.