Квантовая емкость

Квантовая емкость (Quantum Capacitance) — физическое понятие, введенное в научный оборот в 1988 году Серже Лурием для описания двумерных (2М-) систем электронного газа тогда в кремнии и арсенид-галлии через стандартное понятие 2М- плотности состояний. Последние интенсивно развивались тогда, в связи с открытием квантового эффекта Холла (целочисленного и дробного).

Теория

В общем случае 2М- плотность состояний в твердом теле может быть записана в следующем виде:

$D_{2D} = \frac{m^*}{\pi \hbar^2} \$, (1)

где $m^* = \xi m_0 - \$ эффективная масса носителей тока в твердом теле, $m_0 - \$ масса электрона и $\xi - \$ безразмерная постоянная, учитывающая параметры зонной структуры твердого тела. Квантовую емкость можно в общем случае для квантовых гальваномагнитных явлений ввести в следующем виде через плотность состояний:

$C_{QL} = e^2\cdot D_{2D} = \xi \cdot C_{Q0}$, (2)

где $C_{Q0} = 8\pi \alpha \cdot C_{QY} \$ - идеальное значение квантовой емкости, когда эффективная масса равна массе электрона, а также другая идеальная квантовая емкость:

$C_{QY} = \frac{\epsilon_0}{\lambda_0} = 3,6492417 F/m^2 \$, (3)

где $\epsilon_0 - \$ диэлектрическая постоянная и $\lambda_0 - \$ комптоновская длина волны электрона.

Экспериментальное подтверждение

Туннельные диоды на гетерострутурах

Первыми в 21-м веке попытались подтвердить существование квантовых емкостей группа исследователей под руководством Алана Сибафа из университета Нотр Дам (2001) путем исследования эффектов туннелирования на гетеропереходах. Очевидно, что емкость туннельного перехода связана с металлургической поверхностью перехода:

$C_{TD} = \frac{\epsilon_0 S_{TD}}{a_{TD}} \approx 6\cdot 10^{-14}F = 60fF \$ (4)

где $S_{TD} = (1,6\cdot 1,6)\cdot 10^{-12} m^2 - \$ площадь AlAs/InGaAs/AlAs туннельного перехода, $a_{TD} = 3,84\cdot 10^{-10}m - \$ толщина перехода (ее величина близка к величине постоянной решетки гетероперехода). Для сравнения можно привести значение квантовой емкости по Якимахе в этом случае:

$C_{TDQ} = \frac{\epsilon_0 S_{TD}}{\lambda_0} \approx 9,34 \cdot 10^{-12} = 9,32pF \$.

То есть оно значительно больше, чем значение полученное экспериментально. В общем случае, для туннельных диодов не применимо определение квантовой емкости Якимахи (разные толщины емкостей) и определение Лурия (поскольку в одномерных системах 2М- плотность состояний не имеет места быть).

МДП-транзисторы на графене

Одна из лучших последних публикаций по квантовой емкости на качественных графеновых МДП-транзисторах принадлежит Чену Жихонгу и Джоржу Аппензеллеру (2008). В работе использовано определение квантовой емкости по Лурия, где использовано стандартное определение 2М-плотности состояний:

$D_{Gr} = \frac{aE}{\pi \hbar^2v_F^2}, a = 1 \$ (5)

$C_{QL} = e^2D_{Gr} = \frac{e^2m^*}{\pi\hbar^2}$, (6)

где $m^* = \frac{E}{v_F^2} = \frac{\hbar}{v_F}\cdot \sqrt{\pi n_{2D}} - \$ циклотронная масса носителей тока. Здесь получена линейная зависимость квантовой емкости от напряжения на затворе, с минимальным значением возле «точки Дирака» (Рис.7):

$C_{exp} \approx 4\cdot 10^{-3} F/m^2 \$.

Здесь также приведены экспериментальные значения квантовой емкости для многослойного графена, которые не зависят от приложенного напряжения и также равны вышеуказанному значению. Далее в работе, вопреки экспериментальным фактам делается предположение, что в «идеальном случае» квантовая емкость в графене, возле точки Дирака должна стремиться к нулю. Это не верно, поскольку согласно свойствам идеальной 2М-системы, последняя имеет зонную структуру, с минимальной концентрацией частиц, равной собственной:

$n_{2D}(T_c) = 3,03\cdot 10^{14} m^{-2} \$. (7)

Подставляя это значение в формулу для циклотронной массы, находим оценку минимального ее значения:

$m^*(n_{2D}(T_c) =\frac{2\hbar}{\alpha c}\sqrt{\pi n_{2D}(T_c)} \approx 2,9767\cdot 10^{-33} kg \$ .(8)

Тогда безразмерный параметр отношения масс будет равный величине:

$\xi = \frac{m^*(n_{2D}(T_c))}{m_0} \approx 3,2677 \cdot 10^{-3} \$. (9)

Отсюда находим минимальное значение для квантовой емкости в графене:

$C_{QL} = \xi C_{Q0} \approx 2,187\cdot 10^{-3} F/m^2 \$. (10)

Как ни странно, но оно в «два» раза меньше, полученного значения экспериментальным путем. Ничего удивительного здесь нет. Дело в том, что при расчете оценки минимального значения емкости в графене, использовались носители одного типа. Учитывая то обстоятельство, что вблизи «точки Дирака» мы имеем биполярный тип проводимости, когда присутствуют и электроны и дырки, поэтому на практике имеем не одну, а две параллельно соединенные емкости для квазиэлектронов и квазидырок. Раздельное существование двух емкостей косвенным образом подтверждает наличие «зонной структуры» в графене с определенным значением ширины запрещенной зоны.

См. также

• 2Д-система для частиц двух сортов
• Квантовая индуктивность (графен)

Литература

• Serge Luryi. Quantum capacitance device. Appl.Phys.Lett., vol.52(6),1988.Pdf
• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739-1751 Pdf
• Qingmin Liu and Alan Seabaugh. New Physical Understanding of the Resonant Tunneling Diode Small-Signal Equivalent Circuit. Публикации Университета Нотр ДамPdf
• Якимаха А.Л. Высокотемпературные квантовые гальваномагнитные эффекты в двумерных инверсионных слоях МДП-транзисторов. Киев: Выща школа, 1989, - 91с. ISBN 5-11-002309-3