Квантовый зарядовый осциллятор

Квантовый зарядовый осциллятор

Квантовый зарядовый осциллятор (Quantum Charge Oscillator) — аналитическое продолжение классического LC ? осциллятора (колебательного контура) на область квантовой механики. Из классической электродонамики известно дифференциальное уравнение для реактивного колебательного контура в виде:

L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0

где L \  — индуктивность контура, R \ - активное сопротивление системы (за счет соединительных проводников) и C \ - емкость контура.

По своей математической форме и по физическому содержанию это классическое дифференциальное уравнение эквивалентное дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний шара, подвешенного на пружине:

m\frac{d^2x}{dt^2} + r\frac{dx}{dt} + kx = 0

где m \ - масса шарика, r \ механическое сопротивление колебаниям маятника и k \ - коэффициент упругости.

Таким образом, в классической физике мы имеем взаимное соответствие между механичными и электродинамическими физическими величинами:

L \leftrightarrow m (индуктивность <--> масса)
C \leftrightarrow 1/k (емкость <--> 1/упругость)
x \leftrightarrow q (смещения <--> заряд).

Необходимо отметить, что все это было давно известно, и не только в 60-х годах прошлого века, а и в 20-х. Поэтому может возникнуть тривиальный вопрос, почему классический механический осциллятор был распространен на область квантовой механики, а электродинамический осциллятор — нет? Очевидно, что ответ на данный вопрос следует искать не в технических трудностях перехода в область квантовой механики (поскольку с точки зрения математики такой переход достаточно тривиален!), а в отсутствии «социального заказа» на данный переход. Но с открытием Якимахой в средине 90-х годов прошлого века «плоского атома» в однородном электрическом поле МДП- транзистора, такой «социальный заказ» появился. Ниже представлены результаты аналитического перехода от классической области в квантовую.

Содержание

Квантовые операторы электромагнитных величин

Оператор импульса в зарядовом пространстве можно подать в следующем виде:

\hat p_L = -i\hbar \frac{d}{dq}, \hat p_L^* = i\hbar \frac{d}{dq}

где \hbar- приведенная постоянная Планка, а \hat p_L^*- комплексно- сопряженный оператор импульса. Оператор Гамильтона в зарядовом пространстве можно представить в виде:


\hat H_L = -\frac{\hbar^2}{2L}\frac{d^2}{dq^2} + \frac{L\omega_0^2}{2}\hat q^2

где \hat q^* - комплексно- сопряженный оператор заряда, а

\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}} - резонансная частота колебательного контура. Единствыенное отличие зарядового пространства от традиционного 3Д- пространства в том, что он одномерный. Правда в нем негативные координаты необходимо принимать вполне всерйоз, поскольку они связаны с зарядами!

Уравнение Шредингера для электромагнитного осциллятора

Используя операторы зарядового пространства, уравнение Шредингера для электромагнитного осциллятора можно записать в виде:

-\frac{\hbar^2}{2L}\frac{d^2 \Psi}{dq^2} +  \frac{L\omega_0^2}{2}q^2\Psi = W\Psi

Для решения этого уравнения необходимо ввести безразмерные переменные для зарядов и энергии:

\xi = \sqrt{\frac{a}{b} = \frac{a}{b}}
\lambda = \frac{2W}{\hbar\omega_0}

где q_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{L\omega_0}} - масштабный заряд.

Тогда уравнение Шредингера в безразмерных переменных принимает форму уравнения Чебышева- Эрмита:

(\frac{d^2}{d\xi^2} + \lambda - \xi^2)\Psi = 0

Собственные значения гамильтониана здесь будут:

W_n = \hbar \omega_0(n + 1/2). \

где при n = 0 имеем «нульовые колебания»:

W_0 = \hbar \omega_0/2. \

В общем случае масштабный заряд можно записать в виде:

q_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{L\omega_0}} = \frac{q}{\sqrt{4\pi \alpha }}

где \alpha \ - постоянная тонкой структуры. Очевидно, что масштабный заряд существенно отличается од заряда электрона. Более того, его квантование будет:

q_{0n} = q_0\sqrt{2n +1}, n = 0,1,2,... \ .

Основные соотношения для реактивного квантового контура

Очевидно, что величины квантовых индуктивностей и емкостей взаимосвязаны. В квантовом случае так само, как и в классическом, мы имеем следующие соотношения для резонансной частоты и волнового сопротивления:

\omega_q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \
\rho_q = \sqrt{\frac{L}{C}}

Эта система уравнений дает возможность нахождения реактивных параметров:

C = \frac{1}{\omega_q \rho_q} \
L = \frac{\rho_q}{\omega_q} \

Но волновое сопротивление в классической электродинамике равно величине:

\rho_q = \sqrt{\frac{L}{C}} = \sqrt{\frac{\mu_0 \mu}{\epsilon_0 \epsilon }}.

А в квантовом случае с учетом соотношений:

\mu = \epsilon = 1 \

мы будем иметь волновое сопротивление вакуума:

\rho_q = \sqrt{\frac{\mu_0 }{\epsilon_0 }} = \rho_0..

На резонансную частоту LC ? контура также накладається умова:

\omega_0 = \omega_q \ .

В общем случае полная энергия контура есть постоянная величина:

W_t = \frac{Cq^2}{2} + \frac{LI^2}{2} = const.

Приравнивая эту энергию нулевым колебаниям, находим максимальный ток в контуре:

I_0^2 = \frac{\hbar \rho_0}{L^2}

А в случае нулевого тока в контуре, получаем максимальный заряд на емкости:

Q_0^2 = \frac{\hbar }{\rho_0 C^2}


Между этими величинами справедливо соотношение:

I_0Q_0 = \hbar \omega_0 \ .


См. также

Литература

  • Яворский Б.М, Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм, Изд. 3-е испр., М.:Высшая школа, 1966.-412 с.
  • Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики.- Киев: Наук. думка, 1989.- 864 с.
  • Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739-1751 Pdf
  • Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.38, No.3,1995.,pp.661-671 pdf
  • Yakymakha O.L., High Temperature Quantum Galvanomagnetic Effects in the Two- Dimensional Inversion Layers of MOSFET’s, p.91. Vyscha Shkola, Kyiv (1989).

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Квантовый зарядовый осциллятор" в других словарях:

  • Квантовый электромагнитный резонатор — (КвЭР) (Quantum Electromagnetic Resonator) – замкнутой топологический объект в трехмерном пространстве, в общем случае ‘’полость’’ произвольной формы, которая имеет определенную ‘’поверхность’’ с определенной ‘’толщиной’’. В противоположность… …   Википедия

  • Квантовая индуктивность (графен) — Связать? Квантовая индуктивность (графен) (Quantum Inductance (Graphene)) – новая физическая величина, которая может быть получена из подхода Лурия (1988) [1], разработанного для …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»