- Квантовый зарядовый осциллятор
-
Квантовый зарядовый осциллятор (Quantum Charge Oscillator) — аналитическое продолжение классического LC ? осциллятора (колебательного контура) на область квантовой механики. Из классической электродонамики известно дифференциальное уравнение для реактивного колебательного контура в виде:
где
— индуктивность контура,
- активное сопротивление системы (за счет соединительных проводников) и
- емкость контура.
По своей математической форме и по физическому содержанию это классическое дифференциальное уравнение эквивалентное дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний шара, подвешенного на пружине:
где
- масса шарика,
механическое сопротивление колебаниям маятника и
- коэффициент упругости.
Таким образом, в классической физике мы имеем взаимное соответствие между механичными и электродинамическими физическими величинами:
(индуктивность <--> масса)
(емкость <--> 1/упругость)
(смещения <--> заряд).
Необходимо отметить, что все это было давно известно, и не только в 60-х годах прошлого века, а и в 20-х. Поэтому может возникнуть тривиальный вопрос, почему классический механический осциллятор был распространен на область квантовой механики, а электродинамический осциллятор — нет? Очевидно, что ответ на данный вопрос следует искать не в технических трудностях перехода в область квантовой механики (поскольку с точки зрения математики такой переход достаточно тривиален!), а в отсутствии «социального заказа» на данный переход. Но с открытием Якимахой в средине 90-х годов прошлого века «плоского атома» в однородном электрическом поле МДП- транзистора, такой «социальный заказ» появился. Ниже представлены результаты аналитического перехода от классической области в квантовую.
Содержание
Квантовые операторы электромагнитных величин
Оператор импульса в зарядовом пространстве можно подать в следующем виде:
где
приведенная постоянная Планка, а
- комплексно- сопряженный оператор импульса. Оператор Гамильтона в зарядовом пространстве можно представить в виде:
где
комплексно- сопряженный оператор заряда, а
резонансная частота колебательного контура. Единствыенное отличие зарядового пространства от традиционного 3Д- пространства в том, что он одномерный. Правда в нем негативные координаты необходимо принимать вполне всерйоз, поскольку они связаны с зарядами!
Уравнение Шредингера для электромагнитного осциллятора
Используя операторы зарядового пространства, уравнение Шредингера для электромагнитного осциллятора можно записать в виде:
Для решения этого уравнения необходимо ввести безразмерные переменные для зарядов и энергии:
где
- масштабный заряд.
Тогда уравнение Шредингера в безразмерных переменных принимает форму уравнения Чебышева- Эрмита:
Собственные значения гамильтониана здесь будут:
где при n = 0 имеем «нульовые колебания»:
В общем случае масштабный заряд можно записать в виде:
где
- постоянная тонкой структуры. Очевидно, что масштабный заряд существенно отличается од заряда электрона. Более того, его квантование будет:
.
Основные соотношения для реактивного квантового контура
Очевидно, что величины квантовых индуктивностей и емкостей взаимосвязаны. В квантовом случае так само, как и в классическом, мы имеем следующие соотношения для резонансной частоты и волнового сопротивления:
Эта система уравнений дает возможность нахождения реактивных параметров:
Но волновое сопротивление в классической электродинамике равно величине:
.
А в квантовом случае с учетом соотношений:
мы будем иметь волновое сопротивление вакуума:
.
На резонансную частоту LC ? контура также накладається умова:
.
В общем случае полная энергия контура есть постоянная величина:
Приравнивая эту энергию нулевым колебаниям, находим максимальный ток в контуре:
А в случае нулевого тока в контуре, получаем максимальный заряд на емкости:
Между этими величинами справедливо соотношение:.
См. также
- Гармонический осциллятор
- Квантовый осциллятор
- Квантовая индуктивность (графен)
- Квантовая емкость (графен)
Литература
- Яворский Б.М, Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм, Изд. 3-е испр., М.:Высшая школа, 1966.-412 с.
- Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики.- Киев: Наук. думка, 1989.- 864 с.
- Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739-1751 Pdf
- Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.38, No.3,1995.,pp.661-671 pdf
- Yakymakha O.L., High Temperature Quantum Galvanomagnetic Effects in the Two- Dimensional Inversion Layers of MOSFET’s, p.91. Vyscha Shkola, Kyiv (1989).
Wikimedia Foundation. 2010.