- Каноническая схема размещения
-
Обобщённая схема размещения [1-3] частиц по ячейкам определяется следующим образом. Пусть неотрицательные целочисленные случайные величины (с.в.)
, сумма которых равна n, связаны с неотрицательными целочисленными независимыми с.в.
следующим соотношением:
для всех целых неотрицательных
, сумма которых равна n. Тогда говорят, что с.в.
образуют обобщённую схему размещения (ОСР).
Если ОСР симметрична, то есть все с.в. ξk имеют одинаковое распределение, то вероятность, стоящую справа в (1), можно записать в виде:
где
Наиболее распространенным случаем ОСР является каноническая схема размещения [4], для которой
где
— последовательность неотрицательных чисел такая, что b0 > 0, радиус сходимости ряда
равен 1, максимальный шаг носителя последовательности
равен 1.
К канонической схеме путем линейного преобразования с.в.
сводятся все схемы вида (3) без указанных выше ограничений на последовательность {bk} с одним только условием — конечного и ненулевого радиуса сходимости B(x). Схема (3), очевидно, является частным случаем (2) и, следовательно, (1). C другой стороны, классическая схема размещения (схема равновероятного размещения частиц по ячейкам), в которой
не сводится к канонической, так как радиус сходимости B(x) = ex равен бесконечности. Но она является частным случаем (2) (и, следовательно, (1)). Классическая схема была детально изучена в [2].
Схемы размещения вида (1), (2) и (3) является удобным средством изучения таких случайных объектов, как леса Гальтона-Ватсона [5], случайные подстановки [3], рекурсивные леса [6] и т. д.
См. также
Литература
- [1] Колчин В. Ф. Случайные отображения. М., Наука, 1984.
- [2] Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. М., Наука, 1976.
- [3] Колчин В. Ф. Случайные графы. М., Физматлит, 2000.
- [4] Казимиров Н. И. Леса Гальтона-Ватсона и случайные подстановки. Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук, Петрозаводск, Кар НЦ РАН, 2003.
- [5] Pavlov Yu. L. Random Forests. Utrecht, VSP, 2000.
- [6] Павлов Ю. Л., Лосева Е. А. Предельные распределения максимального объема дерева в случайном рекурсивном лесе. // Дискретная математика, 2002, 14, № 1, c.60-74.
Wikimedia Foundation. 2010.