Обобщенная схема размещения

Обобщённая схема размещения [1-3] частиц по ячейкам определяется следующим образом. Пусть неотрицательные целочисленные случайные величины (с.в.) $\eta_1,\dots,\eta_N$, сумма которых равна n, связаны с неотрицательными целочисленными независимыми с.в. $\xi_1,\dots,\xi_N$ следующим соотношением:

$\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+\xi_N=n\} \qquad(1)$

для всех целых неотрицательных $k_1,\dots,k_N$, сумма которых равна n. Тогда говорят, что с.в. $\eta_1,\dots,\eta_N,\xi_1,\dots,\xi_N$ образуют обобщённую схему размещения (ОСР).

Если ОСР симметрична, то есть все с.в. ξ_k имеют одинаковое распределение, то вероятность, стоящую справа в (1), можно записать в виде:

$\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}p_{j_1}\dots p_{j_N}},\qquad(2)$

где $p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\dots$

Наиболее распространенным случаем ОСР является каноническая схема размещения [4], для которой

$\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}b_{j_1}\dots b_{j_N}},\qquad(3)$

где $b_0,b_1,\dots$ — последовательность неотрицательных чисел такая, что b₀ > 0, радиус сходимости ряда $B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k$ равен 1, максимальный шаг носителя последовательности $b_0,b_1,\dots$ равен 1.

К канонической схеме путем линейного преобразования с.в. $\eta_1,\dots,\eta_N$ сводятся все схемы вида (3) без указанных выше ограничений на последовательность {b_k} с одним только условием — конечного и ненулевого радиуса сходимости B(x). Схема (3), очевидно, является частным случаем (2) и, следовательно, (1). C другой стороны, классическая схема размещения (схема равновероятного размещения частиц по ячейкам), в которой

$\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},$

не сводится к канонической, так как радиус сходимости B(x) = e^x равен бесконечности. Но она является частным случаем (2) (и, следовательно, (1)). Классическая схема была детально изучена в [2].

Схемы размещения вида (1), (2) и (3) является удобным средством изучения таких случайных объектов, как леса Гальтона-Ватсона [5], случайные подстановки [3], рекурсивные леса [6] и т. д.

См. также

• Гигантская компонента

Литература

• [1] Колчин В. Ф. Случайные отображения. М., Наука, 1984.
• [2] Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. М., Наука, 1976.
• [3] Колчин В. Ф. Случайные графы. М., Физматлит, 2000.
• [4] Казимиров Н. И. Леса Гальтона-Ватсона и случайные подстановки. Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук, Петрозаводск, Кар НЦ РАН, 2003.
• [5] Pavlov Yu. L. Random Forests. Utrecht, VSP, 2000.
• [6] Павлов Ю. Л., Лосева Е. А. Предельные распределения максимального объема дерева в случайном рекурсивном лесе. // Дискретная математика, 2002, 14, № 1, c.60-74.