Закон исключения третьего

Закон исключения третьего

Закон исключённого третьего — закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний — «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, т.е. два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно ложными, одно из них необходимо истинно. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов современной математики.

С интуиционистской (и, в частности, конструктивистской) точки зрения, установление истинности высказывания вида «А или не А» означает установление истинности A или истинности его отрицания, \neg A. Поскольку не существует общего метода, позволяющего для каждого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключенного третьего подвергается критике со стороны представителей интуиционистского и конструктивного направлений в основаниях математики.

Содержание

Формулировка

В математической логике закон исключенного третьего выражается формулой

A \vee\neg A = 1,

где \vee — знак дизъюнкции, \neg — знак отрицания.

Другие формулировки

Подобный смысл имеют другие логические законы, многие из которых сложились исторически. В частности, закон двойного отрицания и закон Пирса эквивалентны закону исключённого третьего в интуиционистской логике. Это означает, что расширение системы аксиом интуиционистской логики любым из этих трёх законов в любом случае приводит к классической логике. И все же, в общем случае, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны[1].

Примеры

Предположим, что P представляет собой утверждение «Сократ смертен». Тогда закон исключённого третьего для P примет вид: «Сократ смертен или Сократ бессмертен», откуда ясно, что закон отсекает все иные варианты, при которых Сократ и не смертен и не бессмертен. Последнее — это и есть то самое «третье», которое исключается. Этим также обусловлено латинское название данного закона: «лат. tertium non datur», то есть «третьего не дано».

Гораздо более тонкий пример применения закона исключённого третьего, который хорошо демонстрирует, почему он не является приемлемым с точки зрения интуиционизма, состоит в следующем. Предположим, что мы хотим доказать теорему, что существуют два таких иррациональных числа a и b, что ab рационально. Известно, что \sqrt{2} иррационально. Рассмотрим \sqrt{2}^{\sqrt{2}}. Если данное число рационально, то теорема доказана. Иначе возьмём a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} и b=\sqrt{2}. Тогда

a^b = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\right)} = \sqrt{2}^2 = 2,

то есть рациональное число. По закону исключённого третьего иных вариантов быть не может. Поэтому, теорема в общем случае доказана. Причём доказательство предельно просто и элементарно. С другой стороны, если принять интуиционистскую точку зрения и отказаться от закона исключённого третьего, теорема хотя и может быть доказана, но доказательство её становится исключительно сложным.

Примечания

  1. Zena M. Ariola and Hugo Herbelin. Minimal classical logic and control operators. In Thirtieth International Colloquium on Automata, Languages and Programming , ICALP’03, Eindhoven, The Netherlands, June 30 — July 4, 2003, volume 2719 of Lecture Notes in Computer Science, pages 871—885. Springer-Verlag, 2003.[1]

Смотри также


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Закон исключения третьего" в других словарях:

  • Закон «Об обеспечении рабочих на случай болезни» — Закон «Об обеспечении рабочих на случай болезни»  закон Российской империи, принятый 23 июня 1912 года. Закон предусматривал получение рабочими выплат в случае временной нетрудоспособности и обязывал предпринимателей организовывать для… …   Википедия

  • ЗАКОН ОБ ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЕ ПЕРЕВОДА ПЛАТЕЖЕЙ — ELECTRONIC FUND TRANSFER ACTРаздел ХХ ЗАКОНА О КОНТРОЛЕ ЗА РЕГУЛИРОВАНИЕМ ФИНАНСОВЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ И ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК 1978 г., подписанный президентом 10 ноября 1978 г. (P.L., 95 630). Вступил в силу 1,5 года спустя после принятия, за исключением… …   Энциклопедия банковского дела и финансов

  • НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЗАКОН О ЖИЛИЩНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ — NATIONAL HOUSING ACTУтвержденный 27 июня 1934 г. (12 U.S.C. 1702, 48 stat. 1246), этот закон первоначально включал в себя следующие основные положения1. Страхование от ущерба, связанного с выдачей ссуд на улучшение собственности. Ссудные… …   Энциклопедия банковского дела и финансов

  • Классическая логика — термин, используемый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего.… …   Википедия

  • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — рассуждение, устанавливающее истинность к. л. утверждения путем приведения др. утверждений, истинность которых уже установлена. В Д. различаются тезис утверждение, которое нужно доказать, и основание, или аргументы, те утверждения, с помощью… …   Философская энциклопедия

  • Кризис математических основ — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете …   Википедия

  • Уэвель — Вилльям (Whewell, иногда обозначаемый по русски неправильно Юэлль, 1794 1866) выдающийся английский ученый. Пройдя курс в Кембриджском университете У., сделался преподавателем математики; позже читал в Кембриджском университете минералогию и… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Уэвель — Вилльям (Whewell, иногда обозначаемый по русски неправильно Юэлль, 1794 1866) выдающийся английский ученый. Пройдя курс в Кембриджском университете У., сделался преподавателем математики; позже читал в Кембриджском университете минералогию и… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Доказательства вообще — Доказательство (Demonstratio) есть выведение истинности какого либо положения (на основании силлогистических законов) из других положений. Доказывать можно лишь положения (понятия могут быть определяемы, факты объясняемы и показываемы), и притом… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Аксиома — (греч. axioma), положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории. На такого рода общих положениях строятся все дальнейшие выводы и заключения науки, и обойтись без… …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

Книги

  • Логика для биологов, Фридман М.В.. Эта книга может представлять интерес как для будущих и уже работающих биологов, так и для представителей точных наук. Для биологов - чтобы не просто освоить логику, но освоить ее в применимой… Подробнее  Купить за 435 руб
  • Логика для биологов, М. В. Фридман, В. С. Фридман. Эта книга может представлять интерес как для будущих и уже работающих биологов, так и для представителей точных наук. Для биологов - чтобы не просто освоить логику, но освоить ее в применимой… Подробнее  Купить за 378 руб
  • Логика для биологов, Фридман М.В.. Эта книга может представлять интерес как для будущих и уже работающих биологов, так и для представителей точных наук. Для биологов - чтобы не просто освоить логику, но освоить ее в применимой… Подробнее  Купить за 372 грн (только Украина)


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»