- Группа голономии
-
Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения , определяемый некоторой заданной связностью на E. В частности, линейный изоморфизм касательных пространств Tγ(0)(M) и Tγ(1)(M), определяемый вдоль кривой некоторой заданной на M аффинной связностью.
Содержание
Параллельное перенесение по аффинной связности
Пусть на гладком многообразии M задана аффинная связность. Говорят, что вектор получен параллельным перенесением из вектора вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой , если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле X со следующими свойствами:
- выполняются равенства X(γ(0)) = X0 и X(γ(1)) = X1;
- для любого значения выполняется равенство , где символ обозначает ковариантную производную, а есть вектор скорости γ.
Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:
- ,
и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора X, в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле X было определено в целой окрестности пути γ(t), достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.
Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.
На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса ковектора и тензора произвольной валентности.
Свойства параллельного перенесения векторов
- Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задачи Коши произвольного линейного ОДУ продолжается неограниченно вдоль любой гладкой кривой, поэтому задавая вектор в начальной точке и указывая путь параллельного перенесения, этот вектор однозначно переносится в любую точку этого пути.
- При перенесении векторов вдоль одного и того же пути сохраняются все линейные соотношения между ними.
- Перенесение векторов обратимо: достаточно конечные вектора перенести вдоль обратного пути, чтобы получились исходные вектора.
- Как следствие двух предыдущих свойств получается, что оператор параллельного переноса вдоль кривой γ представляет собой линейный изоморфизм пространств Tγ(0)(M) и Tγ(1)(M).
- Если аффинная связность согласована с метрическим тензором на римановом многообразии (связность Леви-Чивита), тогда оператор параллельного перенесения является ортогональным, то есть сохраняет скалярные произведения векторов, их длины и углы между ними.
- Важным свойством параллельного перенесения является также независимость результата перенесения от параметризации пути (эквивалентные пути дадут одинаковый результат). В то же время параллельное перенесение вдоль различных кривых обычно приводит к различным результатам.
Связанные определения
- Геодезическая — гладкий путь, у которого касательный вектор в каждой точке получается параллельным перенесением касательного вектора из любой другой точки.
- Группа голономии — группа Φx автоморфизмов касательного пространства TxM, определяемая параллельными переносом вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия Φx и Φy всегда сопряжены между собой.
История
Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в с помощью введенного им понятия развертывания кривой на плоскость . Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай n-мерного риманова пространства (см. связность Леви-Чивита). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.
Литература
- Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
Wikimedia Foundation. 2010.