Функция Грина

Фу́нкция Гри́на используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородная краевая задача).

Функция Грина - это обратный оператор к $L$. Поэтому ее нередко символически обозначают как $L^{-1}$.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Функция Грина названа в честь английского математика Джорджа Грина (англ. George Green), который первым развил соответствующую теорию в 1830-х гг.

Определение и использование

Функция Грина G(x, s) линейного дифференциального оператора L = L(x), действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства Rⁿ в точке s - это любое решение уравнения

$L~G(x,s)=\delta(x-s)$

(1)

где $\ \delta$ — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

$L~u(x)=f(x)$

(2)

Если ядро L нетривиально, то функция Грина неединственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий и/или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Следует помнить, что, вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

$L~G(x,s)=-\delta(x-s)\,,$

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если L имеет постоянные коэффициенты по отношению к x, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

$G(x,s)=G(x-s) \,$

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.

Замечание

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид $~Lf=\kappa h$, функция Грина $~g(x,s)$ также определяется с учётом этого коэффициента, то есть, по определению тогда она есть решение уравнения^[1]

$L f_1 (x) = \kappa\, \delta(x - s)$.

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения $~Lf=\kappa h$ с произвольной функцией $~h$ в правой части записывается как

$f(x)=\int{\kappa\, h(s)\, g(x,s)\,ds}$.

1. ↑ Ясно, что описанное в этом разделе отличие в определении функции Грина от данного в статье выше, касается не сути дела, а всего лишь предпочитаемой формы записи

Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)

Постановка задачи

Пусть $\! L$ — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

$L={d\over dx}\left[p(x){d\over dx}\right]+q(x)$

и пусть $\! D$ — оператор краевых условий

$Du=\left\{\begin{matrix}\alpha_1 u^\prime(0)+\beta_1 u(0),\\ \alpha_2 u^\prime(l)+\beta_2 u(l).\end{matrix}\right.$

Пусть $\! f(x)$ — непрерывная функция на промежутке $[0,\;l]$. Предположим также, что задача

$\begin{matrix}Lu=f, \\ Du=0\end{matrix}$

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема Грина

Тогда существует единственное решение $\! u(x)$, удовлетворяющее системе

$\begin{matrix}Lu=f,\\ Du=0,\end{matrix}$

которое задаётся выражением

$u(x)=\int\limits_0^l f(s)g(x,\;s)\,ds$,

где $g(x,\;s)$ — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:

1. $g(x,\;s)$ непрерывна по $\! x$ и $\! s$.
2. Для $x\ne s$, $Lg(x,\;s)=0$.
3. Для $s\ne 0,\;l$, $Dg(x,\;s)=0$.
4. Скачок производной: $g^\prime(s_{+0},\;s)-g^\prime(s_{-0},\; s)=1/p(s)$.
5. Симметрична: $g(x,\;s)=g(s,\;x)$.

Нахождение функции Грина

В виде ряда через собственные функции оператора

Если множество собственных векторов (собственных функций) $~\Psi_n$ дифференциального оператора $L\$

(то есть набор функций $~\Psi_n(x)$, таких, что для каждой найдётся число $~\lambda_n \ne 0$, что $~L\Psi_n=\lambda_n\Psi_n$)

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов $~\Psi_n$ и собственных значений $~\lambda_n$.

Под полнотой системы функций $~\Psi_n(x)$ подразумевается выполнение соотношения:

$\delta(x-x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\Psi_n(x)\bar\Psi_n(x^\prime)$.

Можно показать, что

$G(x,\;x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\Psi_n(x)\bar\Psi_n(x^\prime)}{\lambda_n}$.

Действительно, подействовав оператором $~L$ на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху обозначено комплексное сопряжение, если $~\Psi_n$ — вещественные функции, его можно не делать).

Функция Грина для лапласиана

Функция Грина для лапласиана может быть легко получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина, начнём с закона Гаусса :

$\int\limits_V\nabla\cdot\hat A\ dV=\int\limits_S\hat A\cdot d\hat\sigma$.

Допустим $A=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi$ и подставим в закон Гаусса . Вычислим $\nabla\cdot\hat A$ и применим цепное правило для $\nabla$ оператора:

$\nabla\cdot\hat A=\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)=$

$=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)+\varphi\nabla^2\psi-(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)-\psi\nabla^2\varphi=\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi$.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

$\int\limits_V\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi\ dV=\int\limits_S\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi\cdot d\hat\sigma$.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор $L$ Лапласиан, $\nabla^2$, и то, что у нас имеется для него функция Грина $G$. Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

$LG(x,\;x^\prime)=\nabla^2G(x,\;x^\prime)=\delta(x-x^\prime)$.

Положим $\psi=G$ в теореме Грина. Тогда получим:

$\int\limits_V\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^2\varphi(x^\prime)\ d^3x^\prime=$

$=\int\limits_S\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime$.

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа ($\nabla^2\varphi(x)=0$) и уравнение Пуассона (($\nabla^2\varphi(x)=-4\pi\rho(x)$) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение $\varphi(x)$ всюду внутри заданной области, если (1) значение $\varphi(x)$ задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная $\varphi(x)$ задана на границе этой области (граничные условия Неймана).

Пусть нас интересует решение $\varphi(x)$ внутри области. В этом случае интеграл $\int\limits_V\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)\ d^3x^\prime$ упрощается до $\varphi(x)$ в силу основного свойства дельта-функции, и мы имеем:

$\varphi(x)=\int\limits_V G(x,\;x^\prime)\rho(x^\prime)\ d^3x^\prime+\int\limits_S\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime$.

Эта формула выражает известное свойство гармонических функций, состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.

В электростатике $\varphi(x)$ понимается как электростатический потенциал, $\rho(x)$ как плотность электрического заряда, а нормальная производная $\nabla\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime$ как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде $G(x,\;x^\prime)$. Эта функция обращается в нуль, когда $x$ или $x^\prime$ находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Ньюмана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

$G(\hat x,\;\hat x^\prime)=\frac{1}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}$.

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда.

$\varphi(x)=\int\limits_V\frac{\rho(x^\prime)}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}\ d^3x^\prime$.

Пример

(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай), причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).

Дана задача

$\begin{matrix}Lu\end{matrix}=u^{\prime\prime}+u=f(x)$;

$u(0)=0,\quad u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Функция Грина $~g(x,s)$ в данном случае по определению должна быть решением уравнения

$g^{\prime\prime} + g = \delta(x - s)$

(3)

где двумя штрихами обозначена вторая производная по $x$.

Для $x \ne s$, где $\delta$-функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):

$g^{\prime\prime} + g = 0$,

то есть для всех точек, кроме $s$, функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения

$~g = A \cos x + B \sin x$,

где $~A$ и $~B$ — константы (не зависят от $~x$).

Таким образом, $~g(x,s)$ должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки $~s$, причём слева и справа от неё коэффициенты $~A$ и $~B$ могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: $~u(0) = 0$ — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для $~x < s$ коэффициент $~A$ общего решения должен быть нулём, то есть для $~x < s$

$g(x,\;s)=B\cdot\sin x$.

Точно так же из правого граничного условия: $~u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ — получаем равенство нулю коэффициента $~B$, то есть для $~x > s$

$g(x,\;s)=A\cdot\cos x$.

В итоге, учитывая, что коэффициенты $A$ и $B$ вообще говоря могут зависеть от $s$, можем записать:

$g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} B(s)\sin x,\;\;x<s \\ A(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}\right.$

Второй шаг:

Нужно определить $~A(s)$ и $~B(s)$.

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения $x < s$ и $x > s$:

$~B(s)\sin s=A(s)\cos s$.

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от $x=s-\varepsilon$ до $x=s+\varepsilon$ получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

$g'(s_{+0},s) - g'(s_{-0},s) = -A(s)\cdot\sin s -B(s)\cdot\cos s=1$.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что

$A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s$.

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

$g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} -1 \cdot \cos s\cdot\sin x,\;\;x<s \\ -1 \cdot \sin s\cdot\cos x,\;\;s<x \end{matrix}\right.$

Другие примеры

• Пусть дано множество $\mathbb R$ и оператор $\ L$ равен $\ d/dx$. Тогда функция Хевисайда $\ H(x-x_0)$ является функцией Грина для $\ L$ при $\ x_0$.
• Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости ${ (x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ и $\ L$ — оператор Лапласа. Также предположим, что при $\ x=0$ наложены краевые условия Дирихле, при $\ y=0$ — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

$G(x,\;y,\;x_0,\;y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]+$

$+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].$

См. также

• Дифференциальный оператор
• Функция Грина для случайно-неоднородной среды

Литература

• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9