Геометрическое броуновское движение

Геометрическое броуновское движение (GBM) (реже, экспоненциальное броуновское движение, экономическое броуновское движение) — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение(винеровский процесс). GBM применяется в целях моделирования ценообразования на финансовых рынках и используется преимущественно в моделях ценообразования опционов, так как GBM может принимать любые положительные значения. GBM является разумным приближением к реальной динамике цен акций, не учитывающем, однако, редкие события (выбросы).

Случайный процесс S_t является GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$

где $W_t$ есть броуновское движение, а $\mu$ («параметр сноса») и $\sigma$ («параметр волатильности») постоянны.

Для произвольного начального значения S₀ данное СДУ имеет решение

$S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right),$

что есть логнормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием $\mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0$ и дисперсией $\operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).$

Корректность решения может быть установлена с использованием леммы Ито. Случайная величина log(S_t/S₀) распределена нормально с матожиданием $(\mu - \sigma^2/2)t$ и дисперсией $\sigma^2t$, что означает, что приращения GBM нормальны (с учётом цены), что даёт основание говорить о «геометричности» процесса.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.